( \mathbf{3 5 \%} ) A distribuição de temperatura ao longo de um dissipador de alumínio com comprimento L =15 \mathrm{~cm} e área de seção transversal \mathrm{L}=0,01 \mathrm{~m}^{2}, em um certo instante de tempo, é dada por \mathrm{T}(\mathrm{x})=\mathrm{a} +\mathrm{bx}+\mathrm{cx}^{2}, na qual a temperatura está em graus Celsius e x em metros, onde \mathrm{a}=900^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{b}=- 300^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{m} e c =-50^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}. O material da dissipador possui as seguintes propriedades:
\rho=1600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{k}=40 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}) \text { e } \mathrm{cp}=4 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} . \mathrm{K}) .
Determine a taxa de calor em \mathrm{x}=7,5 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a taxa de calor (potência térmica) no ponto x=7{,}5\\ \mathrm{cm} ao longo do dissipador. Informações dadas:
  • Comprimento: L=15\\ \mathrm{cm} (não será necessário usar todo o comprimento para o cálculo local).
  • Área da seção transversal: A=0{,}01\\ \mathrm{m}^2.
  • Temperatura em função de x: \displaystyle T(x)=a + b x + c x^2, com
    • a=900^\circ\mathrm{C},
    • b=-300^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m},
    • c=-50^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}^2.
  • Propriedades do material (fornecidas): \rho=1600\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, k=40\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}), c_p=4\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).
O que é pedido exatamente: calcular a taxa de calor \dot{Q} que atravessa a seção em x=7{,}5\\ \mathrm{cm} (ou x=0{,}075\\ \mathrm{m}).

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (aula curtinha mas importante):
  • Para condução unidimensional estacionária localmente, a lei de Fourier dá a taxa de calor através de uma seção como
\dot{Q}(x) = -k\,A\,\frac{dT}{dx}(x).
Expliquei cada símbolo:
  • \dot{Q}(x) é a taxa de calor (potência) que atravessa a seção em x, em \mathrm{W}.
  • k é a condutividade térmica do material, em \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
  • A é a área da seção transversal, em \mathrm{m}^2.
  • \dfrac{dT}{dx}(x) é o gradiente de temperatura no ponto x, em \mathrm{K}/\mathrm{m} (note que variação em ^\circ\mathrm{C} é numericamente igual a variação em K).
  • O sinal menos indica que o calor flui na direção de decrescimento da temperatura (do mais quente para o mais frio).
Portanto, para achar \dot{Q} em x=0{,}075\\ \mathrm{m} eu só preciso calcular \dfrac{dT}{dx} nesse x e inserir na fórmula.

Passo 3

Calcular o gradiente \dfrac{dT}{dx}(x) a partir de T(x)=a + b x + c x^2.
  • Derivando termo a termo:
\frac{dT}{dx}(x) = b + 2c x.
Agora substituo os valores de b e c e x=0{,}075\\ \mathrm{m}:
  • Primeiro calcule 2c x:
2c x = 2\cdot(-50)\cdot 0{,}075 = -100\cdot 0{,}075 = -7{,}5\\ (\!^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}\!).
  • Então
\frac{dT}{dx}(0{,}075) = b + 2c x = -300 + (-7{,}5) = -307{,}5\\ (\!^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}\!).
Observação didática: unidades de ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m} são compatíveis com \mathrm{K}/\mathrm{m} para gradiente térmico, então podemos usar diretamente na lei de Fourier.

Passo 4

Aplicar a lei de Fourier:
\dot{Q}(0{,}075) = -k\,A\,\frac{dT}{dx}(0{,}075).
Substituindo k=40\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}), A=0{,}01\\ \mathrm{m}^2 e \dfrac{dT}{dx}(0{,}075)=-307{,}5\\ \mathrm{K}/\mathrm{m}:
\dot{Q}(0{,}075) = -40 \times 0{,}01 \times (-307{,}5).
Faço as multiplicações passo a passo:
40\times 0{,}01 = 0{,}4,
0{,}4 \times (-307{,}5) = -123{,}0,
com o sinal negativo externo dá
\dot{Q}(0{,}075) = -(-123{,}0) = 123{,}0\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Interpretação física e comentários:
  • O valor calculado é \dot{Q}=123{,}0\\ \mathrm{W}. O sinal positivo indica que o calor atravessa a seção em direção ao aumento de x (isto é, o fluxo de calor está no sentido positivo de x), porque a temperatura decresce com x ( \dfrac{dT}{dx}<0).
  • As propriedades \rho e c_p foram fornecidas no enunciado, mas não são necessárias para este cálculo estático/local de condução; seriam usadas se fosse um problema transiente (variação temporal de temperatura) ou para calcular energia armazenada, mas aqui a taxa de calor instantânea local é dada pela lei de Fourier apenas.

Resposta

\dot{Q}(x=0{,}075\\ \mathrm{m}) = 123{,}0\\ \mathrm{W}

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