(
) A distribuição de temperatura ao longo de um dissipador de alumínio com comprimento L
e área de seção transversal
, em um certo instante de tempo, é dada por
, na qual a temperatura está em graus Celsius e x em metros, onde
e c
. O material da dissipador possui as seguintes propriedades:
Determine a taxa de calor em
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a taxa de calor (potência térmica) no ponto
ao longo do dissipador. Informações dadas:
- Comprimento:
(não será necessário usar todo o comprimento para o cálculo local). - Área da seção transversal:
. - Temperatura em função de
: , com -
, -
, -
.
-
- Propriedades do material (fornecidas):
, , .
O que é pedido exatamente: calcular a taxa de calor
que atravessa a seção em
(ou
).
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (aula curtinha mas importante):
- Para condução unidimensional estacionária localmente, a lei de Fourier dá a taxa de calor através de uma seção como
Expliquei cada símbolo:
-
é a taxa de calor (potência) que atravessa a seção em , em . -
é a condutividade térmica do material, em . -
é a área da seção transversal, em . -
é o gradiente de temperatura no ponto , em (note que variação em é numericamente igual a variação em K). - O sinal menos indica que o calor flui na direção de decrescimento da temperatura (do mais quente para o mais frio).
Portanto, para achar
em
eu só preciso calcular
nesse
e inserir na fórmula.
Passo 3
Calcular o gradiente
a partir de
.
- Derivando termo a termo:
Agora substituo os valores de
e
e
:
- Primeiro calcule
:
- Então
Observação didática: unidades de
são compatíveis com
para gradiente térmico, então podemos usar diretamente na lei de Fourier.
Passo 4
Aplicar a lei de Fourier:
Substituindo
,
e
:
Faço as multiplicações passo a passo:
com o sinal negativo externo dá
Passo 5
Interpretação física e comentários:
- O valor calculado é
. O sinal positivo indica que o calor atravessa a seção em direção ao aumento de (isto é, o fluxo de calor está no sentido positivo de ), porque a temperatura decresce com ( ). - As propriedades
e foram fornecidas no enunciado, mas não são necessárias para este cálculo estático/local de condução; seriam usadas se fosse um problema transiente (variação temporal de temperatura) ou para calcular energia armazenada, mas aqui a taxa de calor instantânea local é dada pela lei de Fourier apenas.