\mathbf{4}^{\mathrm{a}} Questão ( \mathbf{2 , 5} pontos): Considere que um transformador 1 \varphi possua os seguintes dados nominais:
10 \mathrm{MVA}, 3,81 / 38,1 \mathrm{kV}, \mathrm{X}=14,52 \Omega(\mathrm{AT}) .
a) Qual a relação de transformação (RT) e a relação de espiras (n) deste transformador 1 \varphi ?
Considere que 3 unidades deste transformador são utilizadas para formar um Banco de Transformadores Trifásico. Considerando que este banco de transformadores pode adquirir as seguintes configurações \mathrm{Y}-\mathrm{Y}, \Delta-\Delta, \mathrm{Y}-\Delta, \Delta-\mathrm{Y}, responda:
b) Calcule os valores de “RT” e “n” para cada uma das configurações.
c) Especifique os valores nominais da transformação 3 \varphi para cada uma dessas configurações.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados nominais do transformador monofásico (peguei estes valores do enunciado):
    • Potência nominal: 10\\ \mathrm{MVA}.
    • Tensões nominais das espiras (tensões dos enrolamentos): 3{,}81\\ \mathrm{kV} e 38{,}1\\ \mathrm{kV}.
    • Reatância informada X=14{,}52\\ \Omega(\mathrm{AT}) (não será usada nas partes pedidas).
  • Perguntas:
    a) Qual a relação de transformação (RT) e a relação de espiras n do transformador monofásico?
    b) Considerando um banco trifásico formado por 3 unidades idênticas, calcule os valores de “RT” e “n” para cada uma das configurações possíveis: \mathrm{Y}-\mathrm{Y}, \Delta-\Delta, \mathrm{Y}-\Delta, \Delta-\mathrm{Y}.
    c) Especifique os valores nominais da transformação trifásica para cada uma dessas configurações (ou seja, tensões de linha nos lados alta e baixa, potência trifásica nominal do banco e correntes nominais).

Passo 2

Definições e convenções que vou usar (explicando a teoria de forma simples):
  • Relação de espiras n: é a razão entre o número de espiras do enrolamento de alta tensão e do enrolamento de baixa tensão. Para um transformador ideal vale:
n \;=\; \dfrac{N_{\text{HV}}}{N_{\text{LV}}}
  • Relação de transformação (vou definir aqui claramente): tomo
\text{RT} \;=\; \dfrac{V_{\text{HV, fase}}}{V_{\text{LV, fase}}}
ou seja, RT é a razão entre as tensões de fase (tensões entre os terminais de cada enrolamento) do lado de alta tensão e do lado de baixa tensão. Para um transformador ideal sem perdas a regra é:
\text{RT}=n=\dfrac{V_{\text{HV, fase}}}{V_{\text{LV, fase}}}.
  • Em banco trifásico, a relação entre tensão de fase (enrolamento) e tensão de linha depende da conexão:
    • Em estrela (Y): a tensão de linha V_L e a tensão de fase V_{ph} obedecem
    V_L=\sqrt{3}\,V_{ph}.
    • Em triângulo ( \Delta): a tensão de linha é igual à tensão de fase
    V_L=V_{ph}.
  • Assim, quando se monta um banco trifásico, a relação entre tensões de linha dos dois lados pode diferir de n por fatores \sqrt{3} dependendo das conexões.

Passo 3

Calcular RT e n do transformador monofásico (parte a). Usando as tensões dadas (estas tensões são as tensões de cada enrolamento, ou seja tensões de fase do transformador monofásico):
V_{\text{LV,ph}}=3{,}81\\ \mathrm{kV},\qquad V_{\text{HV,ph}}=38{,}1\\ \mathrm{kV}.
Portanto a razão de tensões (relação de transformação por fase) é
\text{RT}=\dfrac{V_{\text{HV,ph}}}{V_{\text{LV,ph}}}=\dfrac{38{,}1}{3{,}81}=10.
Como em transformador ideal a tensão é proporcional ao número de espiras,
n=\dfrac{N_{\text{HV}}}{N_{\text{LV}}}=\dfrac{V_{\text{HV,ph}}}{V_{\text{LV,ph}}}=10.
Interpretação simples: cada enrolamento de alta tensão tem 10 vezes mais espiras (e 10 vezes a tensão por fase) que o enrolamento de baixa tensão.

Passo 4

Preparação para o banco trifásico: potência e princípio de agregação.
  • Um banco trifásico com 3 transformadores idênticos (cada um 10\\ \mathrm{MVA}) tem potência trifásica nominal:
S_{3\varphi}=3\cdot 10\\ \mathrm{MVA}=30\\ \mathrm{MVA}.
  • As tensões nominais de fase dos enrolamentos permanecem 3{,}81\\ \mathrm{kV} e 38{,}1\\ \mathrm{kV}. O que muda são as tensões de linha dependendo da conexão (Y ou \Delta). Lembre-se das fórmulas do Passo 2.

Passo 5

Calcular RT (entre tensões de linha V_{L,HV}/V_{L,LV}) e afirmar n (relação de espiras entre enrolamentos) para cada configuração (parte b). Vou tratar cada configuração separadamente, usando as relações do Passo 2 e as tensões de fase dadas.
  1. Configuração \mathrm{Y}-\mathrm{Y} (enrolamentos HV em Y e LV em Y):
  • Tensões de linha:
V_{L,HV}=\sqrt{3}\,V_{\text{HV,ph}}=\sqrt{3}\cdot 38{,}1\\ \mathrm{kV}, \qquad V_{L,LV}=\sqrt{3}\,V_{\text{LV,ph}}=\sqrt{3}\cdot 3{,}81\\ \mathrm{kV}.
  • Relação entre tensões de linha (RT_line):
\text{RT}_{\mathrm{Y}-\mathrm{Y}}=\dfrac{V_{L,HV}}{V_{L,LV}} =\dfrac{\sqrt{3}\,38{,}1}{\sqrt{3}\,3{,}81}= \dfrac{38{,}1}{3{,}81}=10.
  • Relação de espiras entre enrolamentos (por fase) continua sendo
n=10.
  1. Configuração \Delta-\Delta:
  • Em \Delta a tensão de linha é igual à tensão de fase dos enrolamentos:
V_{L,HV}=V_{\text{HV,ph}}=38{,}1\\ \mathrm{kV},\qquad V_{L,LV}=V_{\text{LV,ph}}=3{,}81\\ \mathrm{kV}.
  • Portanto
\text{RT}_{\Delta-\Delta}=\dfrac{38{,}1}{3{,}81}=10, \qquad n=10.
  1. Configuração \mathrm{Y}-\Delta (HV em Y, LV em \Delta):
  • Tensões:
V_{L,HV}=\sqrt{3}\,V_{\text{HV,ph}}=\sqrt{3}\cdot 38{,}1\\ \mathrm{kV}, \qquad V_{L,LV}=V_{\text{LV,ph}}=3{,}81\\ \mathrm{kV}.
  • Relação de linhas:
\text{RT}_{\mathrm{Y}-\Delta}=\dfrac{V_{L,HV}}{V_{L,LV}} =\dfrac{\sqrt{3}\,38{,}1}{3{,}81}=10\sqrt{3}\approx 17{,}32.
  • Relação de espiras por fase continua n=10.
  1. Configuração \Delta-\mathrm{Y} (HV em \Delta, LV em Y):
  • Tensões:
V_{L,HV}=V_{\text{HV,ph}}=38{,}1\\ \mathrm{kV}, \qquad V_{L,LV}=\sqrt{3}\,V_{\text{LV,ph}}=\sqrt{3}\cdot 3{,}81\\ \mathrm{kV}.
  • Relação de linhas:
\text{RT}_{\Delta-\mathrm{Y}}=\dfrac{V_{L,HV}}{V_{L,LV}} =\dfrac{38{,}1}{\sqrt{3}\,3{,}81}=\dfrac{10}{\sqrt{3}}\approx 5{,}7735.
  • Relação de espiras por fase continua n=10.
Observação didática rápida: o número de espiras por fase (e, portanto, a relação de fase n) não muda pela forma de conexão; o que muda é a relação entre tensões de linha devido à presença de fatores \sqrt{3} quando alguma das partes está em estrela.

Passo 6

Calcular os valores nominais trifásicos (parte c): tensões de linha, potência e correntes nominais do banco para cada configuração. Uso as fórmulas:
  • Potência trifásica do banco:
S_{3\varphi}=3\cdot 10\\ \mathrm{MVA}=30\\ \mathrm{MVA}.
  • Corrente de linha nominal em cada lado:
I_L=\dfrac{S_{3\varphi}}{\sqrt{3}\,V_L}\quad\text{(usar \(V_L\) em kV e \(S\) em MVA, resultando em kA)}.
Agora calculo numericamente (usarei \sqrt{3}\approx 1{,}73205).
  1. \mathrm{Y}-\mathrm{Y}:
  • V_{L,LV}=\sqrt{3}\cdot 3{,}81\approx 6{,}5967\\ \mathrm{kV}.
  • V_{L,HV}=\sqrt{3}\cdot 38{,}1\approx 65{,}967\\ \mathrm{kV}.
  • Correntes:
I_{L,LV}=\dfrac{30}{\sqrt{3}\cdot 6{,}5967}\approx \dfrac{30}{11{,}425}\approx 2{,}626\\ \mathrm{kA}=2626\\ \mathrm{A},
I_{L,HV}=\dfrac{30}{\sqrt{3}\cdot 65{,}967}\approx \dfrac{30}{114{,}25}\approx 0{,}2626\\ \mathrm{kA}=262{,}6\\ \mathrm{A}.
  1. \Delta-\Delta:
  • V_{L,LV}=3{,}81\\ \mathrm{kV}.
  • V_{L,HV}=38{,}1\\ \mathrm{kV}.
  • Correntes:
I_{L,LV}=\dfrac{30}{\sqrt{3}\cdot 3{,}81}\approx \dfrac{30}{6{,}597}\approx 4{,}546\\ \mathrm{kA}=4546\\ \mathrm{A},
I_{L,HV}=\dfrac{30}{\sqrt{3}\cdot 38{,}1}\approx \dfrac{30}{65{,}967}\approx 0{,}4546\\ \mathrm{kA}=454{,}6\\ \mathrm{A}.
  1. \mathrm{Y}-\Delta (HV em Y, LV em \Delta):
  • V_{L,HV}=\sqrt{3}\cdot 38{,}1\approx 65{,}967\\ \mathrm{kV}.
  • V_{L,LV}=3{,}81\\ \mathrm{kV}.
  • Correntes:
I_{L,LV}=\dfrac{30}{\sqrt{3}\cdot 3{,}81}\approx 4{,}546\\ \mathrm{kA}, \qquad I_{L,HV}=\dfrac{30}{\sqrt{3}\cdot 65{,}967}\approx 0{,}2626\\ \mathrm{kA}.
(Observe que os valores de corrente por lado coincidem com os já calculados para as tensões correspondentes.)
  1. \Delta-\mathrm{Y} (HV em \Delta, LV em Y):
  • V_{L,HV}=38{,}1\\ \mathrm{kV}.
  • V_{L,LV}=\sqrt{3}\cdot 3{,}81\approx 6{,}5967\\ \mathrm{kV}.
  • Correntes:
I_{L,LV}=\dfrac{30}{\sqrt{3}\cdot 6{,}5967}\approx 2{,}626\\ \mathrm{kA}, \qquad I_{L,HV}=\dfrac{30}{\sqrt{3}\cdot 38{,}1}\approx 0{,}4546\\ \mathrm{kA}.

Passo 7

Resumo interpretativo final (curto e motivador):
  • A relação de espiras por fase n é sempre 10.
  • A RT entre tensões de linha do banco trifásico depende da combinação Y/ \Delta: em \mathrm{Y}-\mathrm{Y} e \Delta-\Delta a RT entre linhas é 10; em \mathrm{Y}-\Delta é 10\sqrt{3}; em \Delta-\mathrm{Y} é 10/\sqrt{3}.
  • A potência do banco trifásico é 30\\ \mathrm{MVA} e as correntes nominais foram calculadas acima para cada lado e configuração.

Resposta

(a) \text{RT}=\dfrac{V_{\text{HV,ph}}}{V_{\text{LV,ph}}}=\dfrac{38{,}1}{3{,}81}=10,\qquad n=10.
(b) \mathrm{Y}-\mathrm{Y}:\\ \text{RT}_{\mathrm{L}}=10,\\ n=10.
\Delta-\Delta:\\ \text{RT}_{\mathrm{L}}=10,\\ n=10.
\mathrm{Y}-\Delta:\\ \text{RT}_{\mathrm{L}}=10\sqrt{3}\approx 17{,}32,\\ n=10.
\Delta-\mathrm{Y}:\\ \text{RT}_{\mathrm{L}}=\dfrac{10}{\sqrt{3}}\approx 5{,}7735,\\ n=10.
(c) Valores nominais do banco trifásico ( S_{3\varphi}=30\\ \mathrm{MVA}):
\mathrm{Y}-\mathrm{Y}:\\ V_{L,LV}=\sqrt{3}\cdot 3{,}81\approx 6{,}5967\\ \mathrm{kV},\\ V_{L,HV}=\sqrt{3}\cdot 38{,}1\approx 65{,}967\\ \mathrm{kV};\\ I_{L,LV}\approx 2{,}626\\ \mathrm{kA},\\ I_{L,HV}\approx 0{,}2626\\ \mathrm{kA}.
\Delta-\Delta:\\ V_{L,LV}=3{,}81\\ \mathrm{kV},\\ V_{L,HV}=38{,}1\\ \mathrm{kV};\\ I_{L,LV}\approx 4{,}546\\ \mathrm{kA},\\ I_{L,HV}\approx 0{,}4546\\ \mathrm{kA}.
\mathrm{Y}-\Delta:\\ V_{L,HV}=\sqrt{3}\cdot 38{,}1\approx 65{,}967\\ \mathrm{kV},\\ V_{L,LV}=3{,}81\\ \mathrm{kV};\\ I_{L,LV}\approx 4{,}546\\ \mathrm{kA},\\ I_{L,HV}\approx 0{,}2626\\ \mathrm{kA}.
\Delta-\mathrm{Y}:\\ V_{L,HV}=38{,}1\\ \mathrm{kV},\\ V_{L,LV}=\sqrt{3}\cdot 3{,}81\approx 6{,}5967\\ \mathrm{kV};\\ I_{L,LV}\approx 2{,}626\\ \mathrm{kA},\\ I_{L,HV}\approx 0{,}4546\\ \mathrm{kA}.

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