\mathbf{7}^{* *}. (a) Mostre que o módulo do campo magnético no centro de uma espira retangular de lados a e b na qual circula uma corrente I vale
\frac{2 \mu_{0} I}{\pi} \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a b} .
(b) Considere o caso em que b=a. Quanto vale B ?

Passo 1

O enunciado pede o módulo do campo magnético no centro de uma espira retangular de lados a e b percorrida por uma corrente I. Para isso vamos usar a Lei de Biot–Savart aplicada a cada lado, lembrando que o campo gerado por um fio retilíneo finito, de corrente I, num ponto a distância d do fio e subtendendo ângulos \theta_{1} e \theta_{2} nas extremidades vale
B = \frac{\mu_{0}\,I}{4\pi\,d}\,\bigl(\sin\theta_{1}+\sin\theta_{2}\bigr).

Passo 2

Considere um dos lados de comprimento a (horizontal), cuja distância ao centro da espira é d = b/2. Cada extremidade do fio “vê” o ponto central sob um ângulo
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{a/2}{\,b/2}\bigr) =\arctan\!\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr).
Logo, para um único desses lados
B_{\text{h}} = \frac{\mu_{0}\,I}{4\pi\,(b/2)}\,\bigl(2\sin\theta\bigr) = \frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,(b/2)}\,\sin\theta = \frac{\mu_{0}\,I}{\pi\,b}\,\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Como há dois lados horizontais idênticos, a soma é
2\,B_{\text{h}} = \frac{2\mu_{0}\,I}{\pi\,b}\,\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.

Passo 3

Agora o mesmo raciocínio para um lado vertical de comprimento b, à distância d = a/2. O ângulo em cada extremidade é
\varphi = \arctan\!\bigl(\tfrac{b/2}{\,a/2}\bigr) =\arctan\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr),
e o campo de um único desses lados é
B_{\text{v}} = \frac{\mu_{0}\,I}{4\pi\,(a/2)}\,\bigl(2\sin\varphi\bigr) = \frac{\mu_{0}\,I}{\pi\,a}\,\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Como há dois lados verticais,
2\,B_{\text{v}} = \frac{2\mu_{0}\,I}{\pi\,a}\,\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.

Passo 4

Somando todas as contribuições (horizontais e verticais), obtemos
B = 2\,B_{\text{h}} + 2\,B_{\text{v}} = \frac{2\mu_{0}\,I}{\pi\,\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \Bigl(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\Bigr) = \frac{2\mu_{0}\,I}{\pi}\,\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a\,b}.

Passo 5

No caso especial b=a temos \sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{2}\,a. Assim
B = \frac{2\mu_{0}\,I}{\pi}\,\frac{\sqrt{2}\,a}{a^{2}} = \frac{2\sqrt{2}\,\mu_{0}\,I}{\pi\,a}.

Resposta

(a) \displaystyle B=\frac{2\mu_{0}\,I}{\pi}\,\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a\,b}.
(b) \displaystyle B=\frac{2\sqrt{2}\,\mu_{0}\,I}{\pi\,a}.

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