\mathbf{3}^{\underline{\text { a }}} Questão: Medidas feitas em uma bateria (modelo prático - “real”) mostram uma tensão de 100 V nos terminais para uma carga de 100 \Omega e depois 105 V para uma resistência de 210 \Omega. Obtenha o modelo de circuito para esta fonte (fonte de tensão com resistência interna em série).
Passo 1
O enunciado dá duas medições de tensão aos terminais de uma bateria real (modelo prático: fonte de tensão ideal em série com resistência interna) quando ligada a duas cargas diferentes, e pede que se determine o modelo (ou seja, a força eletromotriz e a resistência interna).
Dados fornecidos:
Para a resistência de carga R_1 = 100\\ \Omega a tensão medida nos terminais é V_1 = 100\\ \text{V}.
Para a resistência de carga R_2 = 210\\ \Omega a tensão medida nos terminais é V_2 = 105\\ \text{V}.
O que o problema pede:
Determinar a força eletromotriz (tensão da fonte ideal) E e a resistência interna r do modelo em série.
Passo 2
Vamos entender o modelo e escrever as equações que relacionam as grandezas. Imagine a fonte ideal de tensão com tensão E em série com uma resistência interna r, ligada a uma resistência de carga R. As definições e fórmulas-chave são:
Corrente no circuito: a corrente I que circula quando a carga R está conectada é dada por
I = \frac{E}{r+R}.
Aqui E é a tensão da fonte ideal (força eletromotriz), r é a resistência interna e R é a resistência da carga.
Tensão nos terminais (tensão sobre a carga): a tensão medida nos terminais é a tensão sobre R, que é a corrente multiplicada por R:
V = I\,R.
Substituindo I pela expressão anterior, obtemos uma fórmula muito útil:
V = \frac{E\,R}{r+R}.
Essa fórmula diz: a tensão medida nos terminais depende de E, de r e da carga R.
Também é equivalente e às vezes útil escrever
V = E - I\,r,
pois a queda de tensão no resistor interno é I r.
Explicando as variáveis:
E: força eletromotriz (a tensão do gerador ideal).
r: resistência interna (em série).
R: resistência de carga conectada aos terminais.
I: corrente no circuito.
V: tensão medida aos terminais (tensão sobre R).
Passo 3
Aplicando a fórmula \displaystyle V=\frac{E\,R}{r+R} para cada medição obtemos duas equações com as duas incógnitas E e r.
Para R_1 = 100\\ \Omega e V_1 = 100\\ \text{V}:
100 = \frac{E \cdot 100}{r + 100}.
Para R_2 = 210\\ \Omega e V_2 = 105\\ \text{V}:
105 = \frac{E \cdot 210}{r + 210}.
Essas duas equações serão usadas para resolver E e r.
Passo 4
Vamos manipular as duas equações para eliminar r e achar E. Reescrevendo cada equação isolando r:
Da primeira equação
100 = \frac{E\cdot 100}{r+100}
multiplicando ambos os lados por r+100:
100(r+100) = 100E.
Dividindo por 100:
r+100 = E.
Rearranjando:
r = E - 100.
(Aqui vale notar que essa manipulação é válida porque 100\neq0.)
Da segunda equação
105 = \frac{E\cdot 210}{r+210}
multiplicando ambos os lados por r+210:
105(r+210) = 210E.
Dividindo ambos os lados por 105:
r+210 = 2E.
Rearranjando:
r = 2E - 210.
Agora igualamos as duas expressões para r:
E - 100 = 2E - 210.
Passo 5
Continuando a solução da equação para E:
E - 100 = 2E - 210
subtraindo E de ambos os lados:
-100 = E - 210
somando 210 em ambos os lados:
110 = E.
Portanto a força eletromotriz é \,E = 110\\ \text{V}.
Passo 6
Agora encontramos r usando r = E - 100 (ou a outra expressão equivalente). Substituindo E=110:
r = 110 - 100 = 10\\ \Omega.
Fazendo uma checagem rápida: para R_1=100\\ \Omega,
que conferem com as medições dadas — ótimo, resultado consistente.
Passo 7
Interpretação física e dica para prova: o procedimento que fizemos utiliza a fórmula geral da tensão terminal da fonte real em série com resistência interna. Uma maneira prática de resolver rapidamente em prova é escrever a expressão V=\dfrac{E R}{r+R} para cada par (R,V), isolar r em ambas e igualar, ou manipular as equações para eliminar r e obter E direto — como fizemos. Sempre verifique no final substituindo os valores para garantir consistência.