Se o circuito magnético do exercício anterior for alimentado por uma fonte de tensão CA de 127
, considerando
(Foucault) e
(histerese)
a) máxima densidade de fluxo magnético (Bmax)
b) Perdas por correntes parasitas
c) Perdas por Histerese
d) Perdas totais do Núcleo
a) máxima densidade de fluxo magnético (Bmax)
b) Perdas por correntes parasitas
c) Perdas por Histerese
d) Perdas totais do Núcleo
Passo 1
O que o enunciado nos dá (valores que peguei do enunciado):
- Tensão da fonte (CA):
. - Frequência:
. - Número de espiras informado:
. (Vou tratar como o número de voltas da bobina; se for outra coisa, devo sinalizar isso adiante.) - Coeficiente de correntes de Foucault:
. - Coeficiente de histerese:
.
O que o enunciado pede:
(a) máxima densidade de fluxo magnético ;
(b) perdas por correntes parasitas (Foucault) no núcleo;
(c) perdas por histerese no núcleo;
(d) perdas totais do núcleo.
(a) máxima densidade de fluxo magnético
(b) perdas por correntes parasitas (Foucault) no núcleo;
(c) perdas por histerese no núcleo;
(d) perdas totais do núcleo.
Informações que faltam e que são necessárias para obter valores numéricos definitivos:
- Área da secção transversal do núcleo:
(em ). É essencial para relacionar fluxo com densidade de fluxo por . - Massa do núcleo (ou volume e densidade) para converter perdas por unidade de massa/volume em potência total:
(em ) ou o volume do material. - Exponente de Steinmetz para histerese (geralmente denotado por
ou ); sem isso não se sabe a dependência exata nas perdas por histerese. (Um valor típico para aço silicioso é , mas isso deve vir do enunciado ou dos dados do material.)
Conclusão deste passo: com os dados fornecidos posso montar as fórmulas e mostrar passo a passo como calcular todas as quantidades; porém, para obter números finais em watts e tesla preciso dos parâmetros
(ou
) e do expoente
. Não vou pedir esses dados — vou mostrar as fórmulas finais em função deles e mostrar um caso típico se aceitarmos
.
Passo 2
Como obter
a partir da tensão CA (a teoria passo a passo)
- Começando da Lei de Faraday para uma espira: a tensão instantânea induzida em
voltas é , onde é o fluxo instantâneo (em Wb). - Para excitação senoidal em regime estacionário usamos a relação conhecida para a tensão eficaz de uma bobina magneticamente carregada por fluxo senoidal:
onde
é o fluxo máximo (em Wb) e
vem da relação entre amplitude e valor eficaz para uma senoide integrada.
- Relação entre fluxo máximo e densidade de fluxo máxima:
, onde é a área da secção transversal do núcleo (em ). - Combinando, obtemos a fórmula prática para
:
-
Explicando cada símbolo:
-
é a máxima densidade de fluxo magnético no núcleo (em tesla, ); -
é a tensão eficaz aplicada (em V); -
é a frequência (em Hz); -
é o número de espiras (aqui se for o número de voltas); -
é a área da secção transversal do núcleo (em ).
-
-
Agora substituo os valores numéricos conhecidos deixando
simbólico e assumindo :
onde
em
. Assim, por exemplo, se
(1 cm^2) então
— que é absurdo, indicando que áreas reais são muito maiores ou que
maior é usado; isso só ilustra que é imprescindível o valor de
e/ou escolher
adequadamente para valores físicos de
. (Não estou inventando
; apenas demonstro a forma funcional.)
Passo 3
Fórmulas gerais para perdas no núcleo (visão didática)
- Perdas no núcleo normalmente se separam em duas parcelas dominantes:
- perdas por histerese
; - perdas por correntes parasitas (Foucault, ou eddy currents)
.
- perdas por histerese
- Uma forma empírica muito usada (modelo de Steinmetz simplificado) é:
onde
é a perda específica (por unidade de massa, em
tipicamente). Explicando:
-
é o coeficiente de histerese (fornecido no enunciado como ); -
é o expoente de Steinmetz para histerese (normalmente entre e ; material-dependente; valor típico para aços elétricos: ); -
é o coeficiente das perdas por correntes parasitas (fornecido como ); - o termo em
corresponde ao comportamento típico das correntes parasitas (para laminação finita e campos homogêneos). - Para obter potência total em watts multiplica-se pela massa do núcleo
:
- Perdas totais do núcleo:
Passo 4
Aplicando os coeficientes fornecidos (expressões numéricas em função de
e
)
- Substituindo
e no termo das correntes parasitas:
- Substituindo
e no termo de histerese (aqui preciso do expoente ):
- Observações importantes:
- Essas expressões são válidas se os
e fornecidos forem compatíveis com as unidades (tipicamente para e para ). Assumo aqui que os números dados seguem essa convenção comum. - Se o enunciado der as perdas por unidade de volume em vez de por massa, basta multiplicar pelo volume do núcleo em vez da massa.
- Essas expressões são válidas se os
Passo 5
Passo a passo prático que você faria na prova (sem calculadora complexa)
- Identifique
(número de espiras). Aqui o enunciado forneceu ; trate como se isso fizer sentido no contexto do exercício anterior. Escreva a fórmula:
- Pegue
(em ) do enunciado/figura anterior; calcule diretamente usando multiplicações e divisões simples. - Substitua o
encontrado nas expressões:
- Some
para obter . - Se o enunciado não der
mas der a massa específica e o volume , use . - Se
não estiver no enunciado, use um valor típico indicado por sua tabela de materiais (por exemplo para aço silicioso) e declare essa hipótese na resposta da prova.
Exemplo ilustrativo (apenas para mostrar formato numérico): suponha hipoteticamente que
e
e
. Então
o que evidencia que valores típicos de
e
para transformadores ou núcleos trotariam esse resultado; o exemplo mostra por que é perigoso chutar
sem dados. Não use esse exemplo como resposta final — ele é apenas pedagógico.
Passo 6
Resumo final do procedimento e checklist para entregar na prova
- Passos a executar na prova: (i) obter
e ; (ii) calcular por ; (iii) escolher/exibir ou justificar seu valor; (iv) calcular e com as fórmulas dadas; (v) multiplicar por se os coeficientes forem por kg (ou por volume se forem por m^3). - Sempre declare as unidades e a hipótese sobre
se ela não estiver no enunciado. - Se, na prova, o enunciado anterior já deu
, e , substitua-os diretamente nas expressões do Passo 4 para obter valores numéricos rápidos.
Resposta
(a)
(com
em
; usar
se isto corresponder ao número de espiras).
(b) .
(c) (necessário o expoente
; se não fornecido, declarar hipótese, por ex.
).
(d)
(b)
(c)
(d)
Observação final (essencial): não é possível calcular valores numéricos definitivos em watts e tesla sem os dados do enunciado anterior — especificamente a área da secção
(ou o fluxo efetivo/ângulo de enrolamento), a massa
(ou volume e densidade) do núcleo e o expoente
. Se você me der esses três valores, faço os cálculos numéricos rapidinho.