Se o circuito magnético do exercício anterior for alimentado por uma fonte de tensão CA de 127 \mathrm{V}, 60 \mathrm{~Hz}, considerando \mathrm{n}=2, \mathrm{ke}=0,8 (Foucault) e \mathrm{kh}=280 (histerese)
a) máxima densidade de fluxo magnético (Bmax)
b) Perdas por correntes parasitas
c) Perdas por Histerese
d) Perdas totais do Núcleo

Passo 1

O que o enunciado nos dá (valores que peguei do enunciado):
  • Tensão da fonte (CA): V_{\mathrm{rms}} = 127\\ \mathrm{V}.
  • Frequência: f = 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Número de espiras informado: n = 2. (Vou tratar n como o número de voltas N da bobina; se n for outra coisa, devo sinalizar isso adiante.)
  • Coeficiente de correntes de Foucault: k_e = 0{,}8.
  • Coeficiente de histerese: k_h = 280.
O que o enunciado pede:
(a) máxima densidade de fluxo magnético B_{\max};
(b) perdas por correntes parasitas (Foucault) no núcleo;
(c) perdas por histerese no núcleo;
(d) perdas totais do núcleo.
Informações que faltam e que são necessárias para obter valores numéricos definitivos:
  • Área da secção transversal do núcleo: A (em \mathrm{m}^2). É essencial para relacionar fluxo \Phi com densidade de fluxo B por \Phi = B A.
  • Massa do núcleo (ou volume e densidade) para converter perdas por unidade de massa/volume em potência total: m (em \mathrm{kg}) ou o volume do material.
  • Exponente de Steinmetz para histerese (geralmente denotado por \beta ou x); sem isso não se sabe a dependência exata B^{\beta} nas perdas por histerese. (Um valor típico para aço silicioso é \beta\approx 1{,}6, mas isso deve vir do enunciado ou dos dados do material.)
Conclusão deste passo: com os dados fornecidos posso montar as fórmulas e mostrar passo a passo como calcular todas as quantidades; porém, para obter números finais em watts e tesla preciso dos parâmetros A (ou m) e do expoente \beta. Não vou pedir esses dados — vou mostrar as fórmulas finais em função deles e mostrar um caso típico se aceitarmos \beta=1{,}6.

Passo 2

Como obter B_{\max} a partir da tensão CA (a teoria passo a passo)
  • Começando da Lei de Faraday para uma espira: a tensão instantânea induzida em N voltas é e(t) = -N \dfrac{d\Phi}{dt}, onde \Phi(t) é o fluxo instantâneo (em Wb).
  • Para excitação senoidal em regime estacionário usamos a relação conhecida para a tensão eficaz de uma bobina magneticamente carregada por fluxo senoidal:
V_{\mathrm{rms}} = 4{,}44\,f\,N\,\Phi_{\max},
onde \Phi_{\max} é o fluxo máximo (em Wb) e 4{,}44 = 4/\pi vem da relação entre amplitude e valor eficaz para uma senoide integrada.
  • Relação entre fluxo máximo e densidade de fluxo máxima: \Phi_{\max} = B_{\max}\,A, onde A é a área da secção transversal do núcleo (em \mathrm{m}^2).
  • Combinando, obtemos a fórmula prática para B_{\max}:
B_{\max} = \dfrac{V_{\mathrm{rms}}}{4{,}44\,f\,N\,A}.
  • Explicando cada símbolo:
    • B_{\max} é a máxima densidade de fluxo magnético no núcleo (em tesla, \mathrm{T});
    • V_{\mathrm{rms}} é a tensão eficaz aplicada (em V);
    • f é a frequência (em Hz);
    • N é o número de espiras (aqui N=n se n for o número de voltas);
    • A é a área da secção transversal do núcleo (em \mathrm{m}^2).
  • Agora substituo os valores numéricos conhecidos deixando A simbólico e assumindo N=n=2:
B_{\max} = \dfrac{127}{4{,}44\cdot 60\cdot 2\cdot A} = \dfrac{127}{532{,}8\,A} \approx \dfrac{0{,}2384}{A}\quad (\mathrm{T}),
onde A em \mathrm{m}^2. Assim, por exemplo, se A=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2 (1 cm^2) então B_{\max}\approx 238{,}4\\ \mathrm{T} — que é absurdo, indicando que áreas reais são muito maiores ou que N maior é usado; isso só ilustra que é imprescindível o valor de A e/ou escolher N adequadamente para valores físicos de B. (Não estou inventando A; apenas demonstro a forma funcional.)

Passo 3

Fórmulas gerais para perdas no núcleo (visão didática)
  • Perdas no núcleo normalmente se separam em duas parcelas dominantes:
    1. perdas por histerese P_h;
    2. perdas por correntes parasitas (Foucault, ou eddy currents) P_e.
  • Uma forma empírica muito usada (modelo de Steinmetz simplificado) é:
P_{\text{core, por massa}} = k_h\,f\,B_{\max}^{\beta} + k_e\,f^{2}\,B_{\max}^{2},
onde P_{\text{core, por massa}} é a perda específica (por unidade de massa, em \mathrm{W/kg} tipicamente). Explicando:
  • k_h é o coeficiente de histerese (fornecido no enunciado como k_h);
  • \beta é o expoente de Steinmetz para histerese (normalmente entre 1{,}5 e 2{,}5; material-dependente; valor típico para aços elétricos: \beta\approx 1{,}6);
  • k_e é o coeficiente das perdas por correntes parasitas (fornecido como k_e);
  • o termo em f^2 B^2 corresponde ao comportamento típico das correntes parasitas (para laminação finita e campos homogêneos).
  • Para obter potência total em watts multiplica-se pela massa do núcleo m:
P_h = k_h\,f\,B_{\max}^{\beta}\,m, \qquad P_e = k_e\,f^{2}\,B_{\max}^{2}\,m.
  • Perdas totais do núcleo:
P_{\text{total}} = P_h + P_e = \bigl(k_h\,f\,B_{\max}^{\beta} + k_e\,f^{2}\,B_{\max}^{2}\bigr)\,m.

Passo 4

Aplicando os coeficientes fornecidos (expressões numéricas em função de B_{\max} e m)
  • Substituindo k_e = 0{,}8 e f=60\\ \mathrm{Hz} no termo das correntes parasitas:
P_e = k_e\,f^{2}\,B_{\max}^{2}\,m = 0{,}8 \times 60^{2}\times B_{\max}^{2}\,m = 0{,}8 \times 3600 \times B_{\max}^{2}\,m = 2880\,B_{\max}^{2}\,m\quad (\mathrm{W}).
  • Substituindo k_h = 280 e f=60\\ \mathrm{Hz} no termo de histerese (aqui preciso do expoente \beta):
P_h = k_h\,f\,B_{\max}^{\beta}\,m = 280 \times 60 \times B_{\max}^{\beta}\,m = 16800\,B_{\max}^{\beta}\,m\quad (\mathrm{W}).
  • Observações importantes:
    • Essas expressões são válidas se os k_h e k_e fornecidos forem compatíveis com as unidades (tipicamente \mathrm{W/(kg\cdot Hz\cdot T^{\beta})} para k_h e \mathrm{W/(kg\cdot Hz^2\cdot T^2)} para k_e). Assumo aqui que os números dados seguem essa convenção comum.
    • Se o enunciado der as perdas por unidade de volume em vez de por massa, basta multiplicar pelo volume do núcleo em vez da massa.

Passo 5

Passo a passo prático que você faria na prova (sem calculadora complexa)
  1. Identifique N (número de espiras). Aqui o enunciado forneceu n=2; trate como N=2 se isso fizer sentido no contexto do exercício anterior. Escreva a fórmula:
B_{\max} = \dfrac{V_{\mathrm{rms}}}{4{,}44\,f\,N\,A}.
  1. Pegue A (em \mathrm{m}^2) do enunciado/figura anterior; calcule B_{\max} diretamente usando multiplicações e divisões simples.
  2. Substitua o B_{\max} encontrado nas expressões:
P_e = 2880\,B_{\max}^{2}\,m,\qquad P_h = 16800\,B_{\max}^{\beta}\,m.
  1. Some P_e + P_h para obter P_{\text{total}}.
  2. Se o enunciado não der m mas der a massa específica \rho e o volume V_{\text{core}}, use m = \rho\,V_{\text{core}}.
  3. Se \beta não estiver no enunciado, use um valor típico indicado por sua tabela de materiais (por exemplo \beta=1{,}6 para aço silicioso) e declare essa hipótese na resposta da prova.
Exemplo ilustrativo (apenas para mostrar formato numérico): suponha hipoteticamente que A = 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2 e m=5\\ \mathrm{kg} e \beta=1{,}6. Então
B_{\max}\approx \dfrac{0{,}2384}{1{,}0\times10^{-3}}=238{,}4\\ \mathrm{T}\quad(\text{o que é irreal}),é
o que evidencia que valores típicos de A e N para transformadores ou núcleos trotariam esse resultado; o exemplo mostra por que é perigoso chutar A sem dados. Não use esse exemplo como resposta final — ele é apenas pedagógico.

Passo 6

Resumo final do procedimento e checklist para entregar na prova
  • Passos a executar na prova: (i) obter A e N; (ii) calcular B_{\max} por B_{\max} = V_{\mathrm{rms}}/(4{,}44 f N A); (iii) escolher/exibir \beta ou justificar seu valor; (iv) calcular P_e e P_h com as fórmulas dadas; (v) multiplicar por m se os coeficientes forem por kg (ou por volume se forem por m^3).
  • Sempre declare as unidades e a hipótese sobre \beta se ela não estiver no enunciado.
  • Se, na prova, o enunciado anterior já deu A, m e \beta, substitua-os diretamente nas expressões do Passo 4 para obter valores numéricos rápidos.

Resposta

(a) B_{\max} = \dfrac{V_{\mathrm{rms}}}{4{,}44\,f\,N\,A} = \dfrac{127}{4{,}44\cdot60\cdot n\cdot A} = \dfrac{127}{532{,}8\,A}\approx \dfrac{0{,}2384}{A}\\ \mathrm{T} (com A em \mathrm{m}^2; usar N=n=2 se isto corresponder ao número de espiras).
(b) P_{e} = k_{e}\,f^{2}\,B_{\max}^{2}\,m = 0{,}8\cdot 60^{2}\,B_{\max}^{2}\,m = 2880\,B_{\max}^{2}\,m\\ \mathrm{(W)}.
(c) P_{h} = k_{h}\,f\,B_{\max}^{\beta}\,m = 280\cdot 60\;B_{\max}^{\beta}\,m = 16800\,B_{\max}^{\beta}\,m\\ \mathrm{(W)} (necessário o expoente \beta; se não fornecido, declarar hipótese, por ex. \beta=1{,}6).
(d) P_{\text{total}} = P_{e}+P_{h} = \bigl(2880\,B_{\max}^{2} + 16800\,B_{\max}^{\beta}\bigr)\,m\\ \mathrm{(W)}.
Observação final (essencial): não é possível calcular valores numéricos definitivos em watts e tesla sem os dados do enunciado anterior — especificamente a área da secção A (ou o fluxo efetivo/ângulo de enrolamento), a massa m (ou volume e densidade) do núcleo e o expoente \beta. Se você me der esses três valores, faço os cálculos numéricos rapidinho.

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