2^{\mathrm{a}} QUESTÃO ( \mathbf{2 , 5} pontos)

Amônia gasosa é comprimida em um processo adiabático de 5 bar e -65^{\circ} \mathrm{C} até a temperatura de 70^{\circ} \mathrm{C}. Estime o trabalho isentrópico e o trabalho real necessário se o compressor tem eficiência de 0,78 .

Passo 1

O enunciado dá o seguinte e pede para estimar o trabalho isentrópico e o trabalho real do compressor:
  • Estado inicial: pressão P_1 = 5\\ \mathrm{bar} e temperatura T_1 = -65^\circ\mathrm{C}.
  • Estado final (real): temperatura T_2 = 70^\circ\mathrm{C}. (O enunciado não fornece P_2 nem a massa; por isso vamos calcular trabalho específico, isto é, trabalho por unidade de massa.)
  • Eficiência do compressor: \eta_c = 0{,}78.
  • O processo é adiabático (nenhum calor trocado). Precisamos estimar:
    1. trabalho isentrópico específico w_s (trabalho mínimo, reversible adiabático),
    2. trabalho real específico w_a (o que de fato é necessário dado \eta_c).
Observação: como o enunciado pede uma estimativa e não fornece tabelas, vou usar o modelo de gás ideal com calor específico constante ( c_p) para amônia gasosa e a definição usual de eficiência de compressor. Vou explicar e justificar cada aproximação nos passos seguintes.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Para um gás ideal, a variação de entalpia por unidade de massa é dada por
\Delta h = h_2-h_1 = c_p\,(T_2-T_1),
onde c_p é o calor específico a pressão constante (por massa), e T é temperatura absoluta em kelvin. Aqui usamos a aproximação de c_p constante entre T_1 e T_2.
  • Para um compressor (sem variação de energia cinética/potencial), o trabalho específico fornecido ao gás é igual ao aumento de entalpia:
w = h_2-h_1 = c_p\,(T_2-T_1).
  • A eficiência isentrópica do compressor é definida como (valor típico usado em termodinâmica de máquinas):
\eta_c = \frac{w_s}{w_a} = \frac{h_{2s}-h_1}{h_2-h_1},
onde w_s é o trabalho específico ideal (isentrópico) e w_a o trabalho específico real. Rearranjando,
w_s = \eta_c \, w_a \qquad\text{e}\qquad w_a = \frac{w_s}{\eta_c}.
  • Portanto, se conhecemos a variação de temperatura real T_2-T_1 e um c_p estimado, podemos calcular w_a = c_p (T_2-T_1) e então w_s = \eta_c\, w_a.
Justificação das aproximações:
  • Não foi dado P_2 nem tabela de propriedades da amônia; a aproximação por gás ideal com c_p constante é adequada para uma estimativa rápida. Vou obter c_p estimando a partir do expoente adiabático \gamma e da constante específica R (método simples e comum em provas).

Passo 3

Parâmetros da amônia e cálculo de R e c_p:
  • Massa molar da amônia (valor padrão): M = 0{,}017031\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Constante universal dos gases: R_\mathrm{u} = 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Constante de gás específica da amônia:
R = \frac{R_\mathrm{u}}{M} = \frac{8{,}314}{0{,}017031}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Agora calculemos numericamente:
R \approx 488{,}2\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Exponent adiabático (aproximação típica para NH _3 gasosa em faixa próxima à temperatura ambiente): \gamma \approx 1{,}31. (Essa é uma aproximação comum para amônia gasosa; se tivesse tabela usaríamos cp direto.)
  • Relacionamento entre c_p, \gamma e R:
c_p = \frac{\gamma}{\gamma-1}\,R.
Substituindo:
c_p \approx \frac{1{,}31}{1{,}31-1}\cdot 488{,}2 = \frac{1{,}31}{0{,}31}\cdot 488{,}2 \approx 2063\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Comentário amiguinho: então estamos estimando que c_p da amônia é cerca de 2{,}06\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. É um valor razoável para uma estimativa de prova.

Passo 4

Converter as temperaturas dadas para kelvin e calcular \Delta T:
  • Temperatura inicial:
T_1 = -65^\circ\mathrm{C} = -65 + 273{,}15 = 208{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura final (real):
T_2 = 70^\circ\mathrm{C} = 70 + 273{,}15 = 343{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Variação de temperatura:
\Delta T = T_2 - T_1 = 343{,}15 - 208{,}15 = 135{,}00\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular o trabalho específico real w_a usando w_a = c_p\,(T_2-T_1):
  • Substituindo os números:
w_a = 2063\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} \times 135{,}00\\ \mathrm{K}.
  • Multiplicando:
w_a \approx 278{,}5\times 10^{3}\\ \mathrm{J/kg} = 278{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
Explicando o sentido: esse é o trabalho por quilograma de amônia que o compressor entrega ao gás para elevar sua temperatura de -65^\circ\mathrm{C} para 70^\circ\mathrm{C} no processo real descrito.

Passo 6

Calcular o trabalho isentrópico específico w_s a partir da eficiência \eta_c:
  • Fórmula já dada:
w_s = \eta_c\, w_a.
  • Substituindo \eta_c = 0{,}78 e w_a \approx 278{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}:
w_s = 0{,}78 \times 278{,}5\\ \mathrm{kJ/kg} \approx 217{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}.
Interpretação: w_s é o trabalho mínimo (ideal, reversível) por quilograma que seria necessário para uma compressão isentrópica entre o mesmo estado inicial e a pressão de saída associada ao processo ideal correspondente.

Passo 7

Verificação rápida de consistência e comentários finais:
  • Unidades estão consistentes: c_p em \mathrm{J/(kg\cdot K)}, \Delta T em K, produto em J/kg → convertido para kJ/kg.
  • Resultados são estimativas porque:
    • usamos modelo de gás ideal,
    • assumimos c_p constante e \gamma \approx 1{,}31,
    • não usamos propriedades reais da amônia (tabelas/softwares) que dariam valores mais precisos.
  • Para prova, esse procedimento (usar c_p estimado e \eta_c = w_s/w_a) é uma abordagem prática e aceita para estimativas rápidas quando não há tabelas.

Resposta

w_s \approx 217{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}
w_a \approx 278{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}

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