(2,0 \mathrm{pt})
Um tanque esférico de GLP de raio 10 m precisa ser pintado. Usando Pappus-Goldinis, faça uma estimativa de quantos galões devem ser comprados, sabendo que o rendimento esperado da tinta é 25 \mathrm{~m}^{2} / galão.

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de galões de tinta necessários para pintar um tanque esférico de raio 10 m, sabendo que cada galão rende 25 m ^2. Vamos usar o segundo teorema de Pappus–Guldinus para obter a área da superfície da esfera.

Passo 2

O segundo teorema de Pappus–Guldinus diz que a área da superfície gerada pela rotação de uma curva de comprimento L em torno de um eixo externo é
A = L \,\bigl(2\pi\,d\bigr)
onde d é a distância do centróide da curva ao eixo de rotação. Aqui, escolhemos como curva geradora o arco de uma semicircunferência de raio R=10 m, cujo comprimento e centróide em relação ao diâmetro são
L = \pi R, \quad d = \frac{2R}{\pi}.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle A = L\,(2\pi d), obtemos
A = \pi R \;\bigl(2\pi\cdot\tfrac{2R}{\pi}\bigr) = 4\pi R^{2}.
Com R=10 m, vem
A = 4\pi\cdot 10^{2} = 400\pi \approx 1256{,}64\text{ m}^{2}.

Passo 4

Cada galão cobre 25 m ^2, então o número de galões é
n = \frac{A}{25} = \frac{400\pi}{25} = 16\pi \approx 50{,}27.
Como só podemos comprar galões inteiros, arredondamos para cima.

Resposta

Devem ser comprados 51 galões de tinta.

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