Para \mathrm{v}(\mathrm{t})=120 \operatorname{sen}(377 \mathrm{t}), determine: valor máximo, frequência e período.

Passo 1

O enunciado dá a função temporal da velocidade
v(t)=120\sin(377t).
O que se pede:
  • valor máximo de v(t);
  • frequência (no sentido de ciclos por segundo, Hz);
  • período (tempo de um ciclo completo, em segundos).
Informações relevantes que já estão no enunciado:
  • o coeficiente 120 é o fator multiplicador da senoide;
  • o argumento da senoide é 377t, cujo coeficiente 377 é a frequência angular (denotada por \omega) em \mathrm{rad/s}.

Passo 2

Entender o máximo de uma função do tipo A\sin(\omega t).
A função \sin(\theta) tem valores sempre no intervalo [-1,1]. Portanto, quando uma senoide tem forma
v(t)=A\sin(\omega t),
o maior valor que pode assumir é quando \sin(\omega t)=1, e o menor valor é quando \sin(\omega t)=-1.
Aqui A=120. Logo o valor máximo é
v_{\max}=A\cdot 1=120.
(Dica prática para a prova: sempre que vir A\sin(\cdot) ou A\cos(\cdot), o pico positivo é +A e o pico negativo é -A.)

Passo 3

Relacionar frequência angular \omega com frequência linear f.
Definição e fórmula:
\omega=2\pi f,
onde
  • \omega é a frequência angular em \mathrm{rad/s};
  • f é a frequência em \mathrm{Hz} (ciclos por segundo);
  • 2\pi é a correspondência entre radianos e ciclos completos (um ciclo = 2\pi radianos).
No problema temos \omega=377. Isolando f:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{377}{2\pi}.
Esse é o valor exato. Agora a aproximação numérica: como 2\pi\approx6{,}283185307,
f\approx\frac{377}{6{,}283185307}\approx60{,}0014\\ \mathrm{Hz}.
(Na prova, se aceitarem arredondamento razoável, pode-se escrever f\approx60\\ \mathrm{Hz}. Se pedirem mais precisão, use 60{,}0014\\ \mathrm{Hz}.)

Passo 4

Calcular o período T.
Definição e fórmula:
T=\frac{1}{f}.
Também, a partir de \omega,
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Usando \omega=377 obtemos o valor exato
T=\frac{2\pi}{377}.
Aproximação numérica com 2\pi\approx6{,}283185307:
T\approx\frac{6{,}283185307}{377}\approx0{,}0166663\\ \mathrm{s}.
(Em milissegundos, T\approx16{,}6663\\ \mathrm{ms}.)

Passo 5

Verificação rápida (sanity check):
Calcule fT. Com f=\dfrac{377}{2\pi} e T=\dfrac{2\pi}{377} tem-se exatamente fT=1, o que confirma coerência entre frequência e período. Numericamente 60{,}0014\times0{,}0166663\approx1 (dentro do erro de arredondamento).

Resposta

v_{\max}=120
f=\dfrac{377}{2\pi}\approx60{,}0014\\ \mathrm{Hz}
T=\dfrac{2\pi}{377}\approx0{,}0166663\\ \mathrm{s}

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