2^{\mathrm{a}} - Você foi contratado por uma empresa especializada no desenvolvimento de sistemas de proteção contra impactos. Seu primeiro desafio é projetar um sistema absorvedor de impacto por vibração, semelhante aos utilizados em coletes de segurança e blindagens industriais, capaz de minimizar os efeitos de choques de alta velocidade. Durante um teste, um projétil de massa \mathrm{m}=1 \mathrm{~kg} é lançado contra o sistema com uma velocidade de v =100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, simulando um impacto frontal. O dispositivo protetor é composto por um sistema massa-molaamortecedor, com rigidez da mola \mathrm{k}=(\mathrm{XX} / 100) \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{m} e coeficiente de amortecimento viscoso \mathrm{c}=400 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m}.
(3.0 Pontos)
\mathrm{K}=(\mathrm{XX} / 100) * 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{m} \quad \text { e } \quad \mathrm{XX}=86
Com base nesses dados, determine:
O tempo necessário para o sistema atingir o deslocamento máximo após o impacto;
O valor do deslocamento míximo atingido pela massa.
Essas informaçöes săo essenciais para avaliar a eficácia do sistema na absorçālo de vibraçöes induzidas por impacto e propor melhorias no projeto.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa–mola–amortecedor com massa m=1\:\mathrm{kg}, coeficiente de amortecimento c=400\:\mathrm{N\cdot s/m} e rigidez da mola
k = \frac{86}{100}\times10^{4}\:\mathrm{N/m} \;=\;8600\:\mathrm{N/m}\,.
A massa recebe um impacto inicial com velocidade v(0)=100\:\mathrm{m/s} e deslocamento inicial x(0)=0. Precisamos encontrar (1) o tempo em que o deslocamento atinge seu máximo e (2) o valor desse deslocamento.

Passo 2

Como c^2>4mk, o regime é sobreamortecido e a solução geral da equação homogênea
m\ddot x + c\dot x + kx = 0
é
x(t) = A\,e^{r_{1}t} + B\,e^{r_{2}t}
onde
r_{1,2} = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 -4mk}}{2m}\,.

Passo 3

Calculemos as raízes:
\Delta = c^2 -4mk = 400^2 -4\cdot1\cdot8600 =125600\,,
\sqrt{\Delta}=354{,}999\,,
r_{1} = \frac{-400 +354{,}999}{2} = -22{,}5\:\mathrm{s^{-1}}\,, \quad r_{2} = \frac{-400 -354{,}999}{2} = -377{,}5\:\mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

Impondo as condições iniciais x(0)=0 e \dot x(0)=100, temos
x(0)=A+B=0\;\Rightarrow\;B=-A,
\dot x(t)=A\bigl(r_{1}e^{r_{1}t}-r_{2}e^{r_{2}t}\bigr) \;\Rightarrow\; \dot x(0)=A(r_{1}-r_{2})=100 \;\Rightarrow\; A=\frac{100}{r_{1}-r_{2}}=\frac{100}{355}\approx0{,}2817\,,
B=-0{,}2817.
Logo
x(t)=0{,}2817\bigl(e^{-22{,}5t}-e^{-377{,}5t}\bigr).

Passo 5

O deslocamento atinge o máximo quando \dot x(t)=0:
r_{1}e^{r_{1}t}=r_{2}e^{r_{2}t} \;\Rightarrow\; e^{-(r_{1}-r_{2})t}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \;\Rightarrow\; t = -\frac{1}{r_{1}-r_{2}}\ln\!\biggl(\frac{r_{1}}{r_{2}}\biggr) =\frac{1}{355}\ln\!\bigl(\tfrac{377{,}5}{22{,}5}\bigr) \approx7{,}95\times10^{-3}\:\mathrm{s}.

Passo 6

Substituindo esse t em x(t):
x_{\max} =0{,}2817\Bigl(e^{-22{,}5\cdot0{,}00795}-e^{-377{,}5\cdot0{,}00795}\Bigr) \approx0{,}22\:\mathrm{m}.

Resposta

Tempo até o deslocamento máximo: t\approx7{,}95\times10^{-3}\:\mathrm{s}.
Deslocamento máximo: x_{\max}\approx0{,}22\:\mathrm{m}.

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