Um disco de raio 0,3 \mathrm{~m} e massa 20 kg rola sem escorregar por um plano inclinado de 30^{\circ}. Determine a velocidade do centro do disco após ele ter descido 2 m .

Passo 1

O enunciado dá um disco de raio R=0,3 m e massa m=20 kg rolando sem escorregar por um plano inclinado de \alpha=30^\circ. Ele desce uma distância s=2 m ao longo do plano e queremos a velocidade v do centro do disco nessa posição. Para isso, vamos usar conservação de energia, convertendo energia potencial gravitacional em energia cinética translacional e rotacional.

Passo 2

Primeiro, encontramos a altura h que o disco perde, usando
h = s \,\sin\alpha = 2 \times \sin 30^\circ = 2 \times \tfrac12 = 1
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h = 1\\ \mathrm{m}.

Passo 3

A energia potencial inicial é
E_{\text{pot}} = m g h.
A energia cinética final é a soma da parte translacional e da rotacional:
E_{\text{cin}} = \tfrac12\,m\,v^2 + \tfrac12\,I\,\omega^2.
Como rola sem escorregar, vale
\omega = \frac{v}{R}.

Passo 4

Para um disco sólido, o momento de inércia é
I = \tfrac12\,m\,R^2.
Substituindo em E_{\text{cin}}:
\tfrac12\,I\,\omega^2 = \tfrac12 \bigl(\tfrac12 mR^2\bigr)\bigl(\tfrac{v^2}{R^2}\bigr) = \tfrac14\,m\,v^2.
Então
E_{\text{cin}} = \tfrac12\,m\,v^2 + \tfrac14\,m\,v^2 = \tfrac34\,m\,v^2.
Conservação de energia dá
mgh = \tfrac34\,m\,v^2.

Passo 5

Cancelando m e isolando v:
v^2 = \frac{4}{3}\,g\,h,
v = \sqrt{\frac{4}{3}\,g\,h} = \sqrt{\frac{4}{3}\times 9{,}8\times 1} \approx \sqrt{13{,}0667} \approx 3{,}62\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade do centro do disco é aproximadamente 3{,}62\\ \mathrm{m/s}.

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