A matrix A \in \mathbb{R}^{n \times n} is said to be idempotent if A^{2}=A.
(a) Show that the matrix A=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}2 \cos ^{2} \theta & \sin 2 \theta \\\ \sin 2 \theta & 2 \sin ^{2} \theta\end{array}\right] is idempotent for all \theta.
(b) Suppose A \in \mathbb{R}^{n \times n} is idempotent and A \neq I. Show that A must be singular.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2\cos^{2}\theta & \sin 2\theta \\[4pt] \sin 2\theta & 2\sin^{2}\theta\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  • (a) Mostrar que A é idempotente para todo \theta, ou seja, mostrar que \;A^{2}=A\;.
  • (b) Mostrar que, se A\in\mathbb{R}^{n\times n} é idempotente e A\neq I, então A é singular (não inversível).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A definição de idempotente: A^{2}=A.
  • A matriz dada em (a) depende de \theta.
  • Em (b) a hipótese é apenas A^{2}=A e A\neq I.]

Passo 2

Primeiro simplificar a matriz dada em (a). Usando \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta e multiplicando o fator 1/2 por cada entrada,
A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2\cos^{2}\theta & \sin 2\theta \\[4pt] \sin 2\theta & 2\sin^{2}\theta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos^{2}\theta & \sin\theta\cos\theta \\[4pt] \sin\theta\cos\theta & \sin^{2}\theta\end{pmatrix}.
Para ficar claro: a entrada (1,1) virou \cos^{2}\theta, a (1,2) e (2,1) viraram \sin\theta\cos\theta, e a (2,2) virrou \sin^{2}\theta.]

Passo 3

Calcular A^{2} direto por multiplicação de matrizes. Se escrever c=\cos\theta e s=\sin\theta (só para simplificar a escrita), então
A=\begin{pmatrix}c^{2} & sc \\[4pt] sc & s^{2}\end{pmatrix}.
A multiplicação de 2\times2
A^{2}= \begin{pmatrix} (c^{2})(c^{2})+(sc)(sc) & (c^{2})(sc)+(sc)(s^{2}) \\[6pt] (sc)(c^{2})+(s^{2})(sc) & (sc)(sc)+(s^{2})(s^{2}) \end{pmatrix}.
Agora calcular cada entrada com cuidado:
  • Entrada (1,1):
c^{4}+s^{2}c^{2}=c^{2}(c^{2}+s^{2})=c^{2}\cdot 1=c^{2}.
Aqui usei a identidade trigonométrica \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.
  • Entrada (1,2) (e simetricamente (2,1)):
c^{3}s+s^{3}c = cs(c^{2}+s^{2})=cs\cdot 1 = cs.
  • Entrada (2,2):
s^{2}c^{2}+s^{4}=s^{2}(c^{2}+s^{2})=s^{2}\cdot 1=s^{2}.
Portanto
A^{2}=\begin{pmatrix}c^{2} & cs \\[4pt] cs & s^{2}\end{pmatrix}=A.
Isso mostra explicitamente que A^{2}=A para todo \theta. (Missão da parte (a) cumprida.)]

Passo 4

Comentário interpretativo (útil na prova): observe que a matriz pode ser escrita como produto de vetor por seu transposto. Defina
v=\begin{pmatrix}\cos\theta\\[4pt]\sin\theta\end{pmatrix}.
Então
A = v v^{T} = \begin{pmatrix}\cos\theta\\[4pt]\sin\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos^{2}\theta & \cos\theta\sin\theta \\[4pt]\cos\theta\sin\theta & \sin^{2}\theta\end{pmatrix}.
Como v^{T}v=\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, temos
A^{2}=(v v^{T})(v v^{T})=v (v^{T}v) v^{T}=v\cdot 1\cdot v^{T}=v v^{T}=A.
Isto mostra de forma conceitual que A é a matriz da projeção ortogonal sobre a reta gerada por v, por isso é idempotente. Essa interpretação costuma ajudar muito em provas.]

Passo 5

Agora a parte (b). Relembrar alguns conceitos básicos (explicar como se fosse uma aula curta):
  • Uma matriz A é singular se e somente se existe um vetor não-nulo u tal que A u = 0. Em outras palavras, \ker(A) não é trivial.
  • Mostrar que A\neq I implica existência de tal vetor não-nulo para uma matriz idempotente.
Prova direta e elemental: suponha A^{2}=A e A\neq I. Como A\neq I, existe algum x\in\mathbb{R}^{n} tal que A x\neq x. Considere o vetor
u := x - A x.
Esse vetor não é o vetor zero porque A x\neq x. Agora calcule A u:
A u = A(x - A x) = A x - A^{2}x = A x - A x = 0.
Logo u é um vetor não-nulo no núcleo de A, ou seja, \ker(A) contém um vetor não trivial. Portanto A não é injetora e, por consequência, não é invertível; em linguagem de matrizes, A é singular (equivalente a \det(A)=0).
Observação intuitiva: para uma matriz idempotente A a imagem \operatorname{Im}(A) é o espaço de vetores fixos por A (se y=Az então Ay=A^{2}z=Az=y). Se A\neq I então nem todo vetor é fixo, sobra espaço para vetores na kernel, e aí vem a singularidade.

Resposta

(a) A^{2}=A para todo \theta, logo a matriz é idempotente.
(b) Se A^{2}=A e A\neq I então A é singular ( \det(A)=0).