A matrix
is said to be idempotent if
.
(a) Show that the matrix
is idempotent for all
.
(b) Suppose
is idempotent and
. Show that
must be singular.
(a) Show that the matrix
(b) Suppose
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede duas coisas:
- (a) Mostrar que
é idempotente para todo , ou seja, mostrar que . - (b) Mostrar que, se
é idempotente e , então é singular (não inversível).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A definição de idempotente:
. - A matriz dada em (a) depende de
. - Em (b) a hipótese é apenas
e .]
Passo 2
Primeiro simplificar a matriz dada em (a). Usando
e multiplicando o fator
por cada entrada,
Para ficar claro: a entrada
virou
, a
e
viraram
, e a
virrou
.]
Passo 3
Calcular
direto por multiplicação de matrizes. Se escrever
e
(só para simplificar a escrita), então
A multiplicação de
dá
Agora calcular cada entrada com cuidado:
- Entrada
:
Aqui usei a identidade trigonométrica
.
- Entrada
(e simetricamente ):
- Entrada
:
Portanto
Isso mostra explicitamente que
para todo
. (Missão da parte (a) cumprida.)]
Passo 4
Comentário interpretativo (útil na prova): observe que a matriz pode ser escrita como produto de vetor por seu transposto. Defina
Então
Como
, temos
Isto mostra de forma conceitual que
é a matriz da projeção ortogonal sobre a reta gerada por
, por isso é idempotente. Essa interpretação costuma ajudar muito em provas.]
Passo 5
Agora a parte (b). Relembrar alguns conceitos básicos (explicar como se fosse uma aula curta):
- Uma matriz
é singular se e somente se existe um vetor não-nulo tal que . Em outras palavras, não é trivial. - Mostrar que
implica existência de tal vetor não-nulo para uma matriz idempotente.
Prova direta e elemental: suponha
e
. Como
, existe algum
tal que
. Considere o vetor
Esse vetor não é o vetor zero porque
. Agora calcule
:
Logo
é um vetor não-nulo no núcleo de
, ou seja,
contém um vetor não trivial. Portanto
não é injetora e, por consequência, não é invertível; em linguagem de matrizes,
é singular (equivalente a
).
Observação intuitiva: para uma matriz idempotente
a imagem
é o espaço de vetores fixos por
(se
então
). Se
então nem todo vetor é fixo, sobra espaço para vetores na kernel, e aí vem a singularidade.
Resposta
(a)
para todo
, logo a matriz é idempotente.
(b) Se e
então
é singular (
).
(b) Se