A matriz a seguir é a matriz aumentada obtida de um sistema linear nas variáveis
a) Escreva a solução deste sistema na forma vetorial ( vetor
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz aumentada que representa um sistema de equações lineares com cinco variáveis: e . Nosso objetivo é encontrar a solução desse sistema e expressá-la na forma vetorial. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre sistemas lineares e formas vetoriais das soluções.
Passo 2
Vamos reescrever o sistema de equações a partir da matriz aumentada x1 + 2x2 + 5x3 + 4x4 + 2x5 = 2 x2 - x3 - x4 + 2x5 = 4 x4 - x5 = 5 :
Passo 3
Observamos que a terceira equação envolve apenas x4 = x5 + 5 e . Podemos resolver essa equação para uma das variáveis, por exemplo, :
Passo 4
Substituímos x2 - x3 - (x5 + 5) + 2x5 = 4 na segunda equação:
Agora, identificamos que x1 = -7s - 4t - 36 x2 = s - t + 9 x3 = s x4 = t + 5 x5 = t e são variáveis livres que podem assumir qualquer valor real. Vamos chamar e , onde e são parâmetros livres.
Substituindo:
Passo 7
Podemos expressar a solução do sistema na forma vetorial combinando os termos constantes e os termos que dependem dos parâmetros x = x1 x2 x3 x4 x5 = -36 9 0 5 0 + s -7 1 1 0 0 + t -4 -1 0 1 1 e :
Resposta
A solução do sistema na forma vetorial é:
x = -36 9 0 5 0 + s -7 1 1 0 0 + t -4 -1 0 1 1 , onde s, t in R