1. Se a matriz de transição de B_{1} para B_{2} for uma matriz diagonal, então cada vetor em B_{2} é um múltiplo escalar de algum vetor em B_{1}.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos dois sistemas de base de um mesmo espaço vetorial V:
\mathcal{B}_1=\{v_1,\dots,v_n\} e \mathcal{B}_2=\{w_1,\dots,w_n\}.
O enunciado diz que a matriz de transição de \mathcal{B}_1 para \mathcal{B}_2 é diagonal.
Vamos usar a definição de matriz de mudança de base e ver o que isso implica sobre cada vetor w_j.

Passo 2

Por definição, a matriz de transição P de \mathcal{B}_1 para \mathcal{B}_2 tem como j-ésima coluna as coordenadas de w_j na base \mathcal{B}_1. Em outras palavras, para todo j vale
w_j \;=\;\sum_{i=1}^{n}P_{ij}\,v_i.

Passo 3

Como P é diagonal, todos os elementos fora da diagonal são zero, isto é, P_{ij}=0 sempre que i\neq j. Então a soma acima colapsa para
w_j \;=\;P_{jj}\,v_j.
Ou seja, cada vetor w_j de \mathcal{B}_2 é um múltiplo escalar de v_j em \mathcal{B}_1.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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