- Se a matriz de transição de
para
for uma matriz diagonal, então cada vetor em
é um múltiplo escalar de algum vetor em
.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos dois sistemas de base de um mesmo espaço vetorial
:
e
.
O enunciado diz que a matriz de transição de para
é diagonal.
Vamos usar a definição de matriz de mudança de base e ver o que isso implica sobre cada vetor .
O enunciado diz que a matriz de transição de
Vamos usar a definição de matriz de mudança de base e ver o que isso implica sobre cada vetor
Passo 2
Por definição, a matriz de transição
de
para
tem como
-ésima coluna as coordenadas de
na base
. Em outras palavras, para todo
vale
Passo 3
Como
é diagonal, todos os elementos fora da diagonal são zero, isto é,
sempre que
. Então a soma acima colapsa para
Ou seja, cada vetor
de
é um múltiplo escalar de
em
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.