Nas matrizes abaixo, calcule as inversas, se existirem, usando as matrizes adjuntas.
\left|\begin{array}{rr}3 & -2 \\\\ -3 & 4\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix}3 & -2 \\\\ -3 & 4\end{pmatrix}
usando a matriz adjunta. Para isso precisamos calcular o determinante de A, a matriz de cofatores, sua transposta (adjunta) e, por fim, dividir essa adjunta pelo determinante.

Passo 2

Calcular o determinante de A:
\det(A) = 3\cdot4 \;-\;(-2)\cdot(-3) \;=\;12 - 6 \;=\;6.
Como \det(A)\neq0, a matriz é invertível.

Passo 3

Formar a matriz de cofatores C. Os menores e cofatores são:
M_{11}=4, logo C_{11}=+4.
M_{12}=-3, logo C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=+3.
M_{21}=-2, logo C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=+2.
M_{22}=3, logo C_{22}=+3.
Assim,
C = \begin{pmatrix}4 & 3 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \operatorname{adj}(A)=C^{T}=\begin{pmatrix}4 & 2 \\\\ 3 & 3\end{pmatrix}.

Passo 4

Dividir a adjunta pelo determinante para obter A^{-1}:
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = \frac{1}{6}\begin{pmatrix}4 & 2 \\\\ 3 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\displaystyle\frac{2}{3} & \displaystyle\frac{1}{3} \\[6pt] \displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{1}{2}\end{pmatrix}.
]

Resposta

A^{-1} = \frac{1}{6}\begin{pmatrix}4 & 2 \\\\ 3 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}.

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