Nas matrizes abaixo, calcule as inversas, se existirem, usando as matrizes adjuntas.
\left|\begin{array}{lll}4 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 3\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\[0.3em] 0 & 1 & 2 \\[0.3em] 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}
e pede A^{-1} usando a matriz adjunta. Vamos usar a fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A),
onde \det(A) é o determinante de A e \mathrm{adj}(A) é a transposta da matriz de cofatores de A.]

Passo 2

Calcular \det(A) pela expansão na primeira linha:
\det(A) =4\det\begin{pmatrix}1 & 2 \\[0.3em] 0 & 3\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}0 & 2 \\[0.3em] 1 & 3\end{pmatrix} +2\det\begin{pmatrix}0 & 1 \\[0.3em] 1 & 0\end{pmatrix}.
Aqui
\det\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & 3\end{pmatrix}=3,\quad \det\begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix}=-2,\quad \det\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix}=-1,
logo
\det(A)=4\cdot3-2\cdot(-2)+2\cdot(-1)=12+4-2=14.]

Passo 3

Calcular a matriz de cofatores C=(C_{ij}). Cada cofactor é dado por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
onde M_{ij} é o menor complementar.
Para a primeira linha ( i=1), os menores são M_{11}=3, M_{12}=-2, M_{13}=-1, então
C_{11}=+3,\quad C_{12}=2,\quad C_{13}=-1.
Para a segunda linha ( i=2), os menores são M_{21}=6, M_{22}=10, M_{23}=-2, logo
C_{21}=-6,\quad C_{22}=10,\quad C_{23}=2.
Para a terceira linha ( i=3), os menores são M_{31}=2, M_{32}=8, M_{33}=4, de modo que
C_{31}=2,\quad C_{32}=-8,\quad C_{33}=4.
Portanto
C = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\\\ -6 & 10 & 2 \\\\ 2 & -8 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta de A é a transposta de C:
\mathrm{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} 3 & -6 & 2 \\\\ 2 & 10 & -8 \\\\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente
A^{-1} = \frac{1}{14}\,\mathrm{adj}(A) = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 3 & -6 & 2 \\\\ 2 & 10 & -8 \\\\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{14} & -\frac{3}{7} & \frac{1}{7} \\[0.3em] \frac{1}{7} & \frac{5}{7} & -\frac{4}{7} \\[0.3em] -\frac{1}{14} & \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{14} & -\frac{3}{7} & \frac{1}{7} \\[0.3em] \frac{1}{7} & \frac{5}{7} & -\frac{4}{7} \\[0.3em] -\frac{1}{14} & \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix}.]

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