Nas matrizes abaixo, calcule as inversas, se existirem, usando as matrizes adjuntas.
\left|\begin{array}{rrr}2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & -1 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\\\ 3 & 2 & -1\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
usando o método da matriz adjunta (adjugado). Para isso precisamos (1) calcular o determinante de A, (2) montar a matriz de cofatores, (3) transpor essa matriz para obter o adjugado e (4) dividir pelo determinante.

Passo 2

Calculamos o determinante de A expandindo, por exemplo, pela segunda coluna, já que há zeros:
\det(A) = 0\cdot C_{12} + 2\cdot C_{22} + 0\cdot C_{32} = 2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = 2\bigl(2\cdot1 - 1\cdot1\bigr) = 2\cdot1 = 2.

Passo 3

Agora calculamos cada cofator C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor de ordem 2 que sobra ao riscar linha i e coluna j:
\begin{aligned} C_{11}&= (+1)\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 0 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-0\cdot(-1)=2,\\\ C_{12}&= (-1)\det\begin{pmatrix}3 & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = -\bigl(3\cdot1-1\cdot(-1)\bigr) = -4,\\\ C_{13}&= (+1)\det\begin{pmatrix}3 & 2\\\ 1 & 0\end{pmatrix} =3\cdot0-1\cdot2=-2,\\\ C_{21}&= (-1)\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = -\bigl(0\cdot1-0\cdot1\bigr)=0,\\\ C_{22}&= (+1)\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} =2\cdot1-1\cdot1=1,\\\ C_{23}&= (-1)\det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix} = -\bigl(2\cdot0-1\cdot0\bigr)=0,\\\ C_{31}&= (+1)\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 2 & -1\end{pmatrix} =0\cdot(-1)-2\cdot1=-2,\\\ C_{32}&= (-1)\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 3 & -1\end{pmatrix} = -\bigl(2\cdot(-1)-3\cdot1\bigr)=5,\\\ C_{33}&= (+1)\det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 3 & 2\end{pmatrix} =2\cdot2-3\cdot0=4. \end{aligned}
A matriz de cofatores é
\begin{pmatrix} 2 & -4 & -2\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -2 & 5 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 4

O adjugado de A é a transposta da matriz de cofatores:
\operatorname{adj}(A) =\begin{pmatrix} 2 & 0 & -2\\\\ -4 & 1 & 5\\\\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente, como \det(A)=2\neq0, a inversa é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2\\\\ -4 & 1 & 5\\\\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ -2 & \tfrac12 & \tfrac52\\\\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ -2 & \tfrac12 & \tfrac52\\\\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

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