Nas matrizes abaixo, calcule as inversas, se existirem, usando as matrizes adjuntas.
\left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & 4 \\\\ 1 & -5 & 6 \\\\ 3 & -1 & 2\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\\\ 1 & -5 & 6\\\\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}
usando a matriz adjunta. Isto envolve calcular primeiro \det(A), depois a matriz de cofatores, em seguida transpor essa matriz (adjunta) e, por fim, multiplicar pelo recíproco do determinante.

Passo 2

Vamos calcular \det(A) expandindo pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-5 & 6\\\ -1 & 2\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 6\\\ 3 & 2\end{pmatrix} +4\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -5\\\ 3 & -1\end{pmatrix}.
Cada menor é
\det\begin{pmatrix}-5 & 6\\\ -1 & 2\end{pmatrix} =(-5)\cdot2 - 6\cdot(-1) = -10+6 = -4,
\det\begin{pmatrix}1 & 6\\\ 3 & 2\end{pmatrix} =1\cdot2 - 6\cdot3 = 2-18 = -16,
\det\begin{pmatrix}1 & -5\\\ 3 & -1\end{pmatrix} =1\cdot(-1) - (-5)\cdot3 = -1+15 = 14.
Logo
\det(A) = 1\cdot(-4) -2\cdot(-16) +4\cdot14 = -4 +32 +56 = 84.

Passo 3

Agora calculamos a matriz de cofatores C = (C_{ij}), onde
C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij},
e M_{ij} é o determinante da submatriz que sobra ao remover linha i e coluna j. Obtém-se
C = \begin{pmatrix} -4 & 16 & 14\\\\ -8 & -10 & 7\\\\ 32 & -2 & -7 \end{pmatrix}.

Passo 4

A matriz adjunta é a transposta de C:
\mathrm{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} -4 & -8 & 32\\\\ 16 & -10 & -2\\\\ 14 & 7 & -7 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A) = \frac{1}{84} \begin{pmatrix} -4 & -8 & 32\\\\ 16 & -10 & -2\\\\ 14 & 7 & -7 \end{pmatrix}.
Podemos simplificar cada entrada:
A^{-1} = \begin{pmatrix} -\,\tfrac{1}{21} & -\,\tfrac{2}{21} & \tfrac{8}{21}\\\ \tfrac{4}{21} & -\,\tfrac{5}{42} & -\,\tfrac{1}{42}\\\ \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{12} & -\,\tfrac{1}{12} \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -\,\tfrac{1}{21} & -\,\tfrac{2}{21} & \tfrac{8}{21}\\\ \tfrac{4}{21} & -\,\tfrac{5}{42} & -\,\tfrac{1}{42}\\\ \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{12} & -\,\tfrac{1}{12} \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados