ou seja, os autovalores são exatamente os elementos da diagonal principal (contados com multiplicidade algébrica).
Portanto, para matrizes triangulares não precisamos calcular determinantes trabalhando linhas/colunas complicadas: os autovalores são os termos diagonais.
Depois de obter cada \lambda, para achar os autovetores resolvemos (A-\lambda I)v=0. Como A-\lambda I também é triangular, dá para resolver por substituição “de baixo para cima” (back-substitution), o que é rápido e prático na prova.
Passo 3
Aplicando a propriedade acima: os autovalores de A são os elementos da diagonal.
Logo os autovalores são
Cada um aparece com multiplicidade algébrica 1 (todos distintos).
Passo 4
Método para encontrar um autovetor associado a um autovalor \lambda:
Escrevo x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^{T}.
Formo A-\lambda I e escrevo o sistema linear equivalente a (A-\lambda I)x=0.
Como a matriz é triangular superior, as equações mais simples estão em baixo (ultimas linhas), permitindo achar x_4 primeiro, depois x_3, etc. Em cada caso escolho parâmetros livres para obter um vetor não-nulo e, se necessário, escalo para evitar frações.
Agora aplico esse procedimento para cada autovalor.
Da primeira equação vem x_4=0. Substituindo em (2) dá 2x_3=0\Rightarrow x_3=0. Substituindo em (3) dá -2x_2=0\Rightarrow x_2=0. A primeira linha (4) fica 0=0 e não impõe x_1. Portanto x_1 é livre e deve ser não-nulo para obter vetor próprio não-nulo.
Escolho x_1=1. Assim um autovetor associado a \lambda=1 é
Com x_3=x_4=0 a última equação dá x_1=-x_2. Posso escolher x_2=1 e então x_1=-1. Escalando por -1 para ficar mais “bonito”, tomo x_1=1,\\ x_2=-1 — ambos representam o mesmo espaço próprio.
Um autovetor associado a \lambda=-1 é, por exemplo,
Cada autovalor distinto teve espaço próprio unidimensional (um parâmetro livre em cada caso), logo a multiplicidade geométrica de cada autovalor é 1.
Os vetores v_1,v_2,v_3,v_4 encontrados são autovetores não-nulos associados, e podem ser escalados livremente (qualquer múltiplo escalar não-nulo de um autovetor também é autovetor).
Em particular, como há 4 autovalores distintos, a matriz é diagonalizável (visto que temos 4 autovetores linearmente independentes).