Na Mecânica Clássica, a energia total E de uma partícula nunca pode ser menor do que a energia potencial U porque a energia cinética K nunca pode ser negativa (lembrar que K=\frac{1}{2} m v^{2} ). Contudo, no tunelamento através de uma barreira, uma partícula passa para regiões nas quais E é menor do que U. Isso é uma contradição? Explique.

Passo 1

O enunciado fala sobre Mecânica Clássica, onde a energia total de uma partícula
E = K + U
não pode ter E<U porque K=\tfrac12 m v^2\ge0. Mas, em Mecânica Quântica, no efeito túnel uma partícula penetra numa região onde classically seria proibida, ou seja, onde E<U. Vamos entender por que isso não é uma contradição.

Passo 2

Na Mecânica Quântica temos a equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão:
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d}x^2} + U(x)\,\psi(x) = E\,\psi(x).
Reescrevendo
\frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d}x^2} = \frac{2m}{\hbar^2}\,[U(x)-E]\,\psi(x).
Note que quando U(x)>E, o fator [U(x)-E] é positivo e a solução dessa EDO é do tipo exponencial decrescente ou crescente, não ondulatória.

Passo 3

Classicamente, E<U implicaria em momento imaginário, pois p=\sqrt{2m(E-U)} ficaria imaginário e não haveria movimento real. Já na QM o “momento imaginário” aparece justamente na solução evanescente
\psi(x) \sim e^{-\kappa x}, \quad \kappa = \frac{\sqrt{2m\,(U-E)}}{\hbar}.
Isso não significa que a partícula tem energia cinética negativa; significa que sua função de onda decai no barrier.

Passo 4

A interpretação quântica de “energia cinética” dentro da barreira não coincide com K=\tfrac12mv^2. O valor médio do operador \hat K = -\tfrac{\hbar^2}{2m}\,\tfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} naquele trecho não é uma medida de “velocidade real negativa”, mas reflete a curvatura da onda. O importante é que
E = \langle \hat K\rangle + \langle U\rangle
permanece válido como valor médio, sem violar a positividade de K na região clássica permitida.

Passo 5

Portanto, não há contradição: o fato de E<U em regiões de túnel só diz que ali a função de onda é evanescente. A partícula não “viaja” com velocidade imaginária; ela tem apenas amplitude decrescente, e isso permite uma probabilidade finita de atravessar a barreira, fenômeno puramente quântico.

Resposta

Não é contradição: em Mecânica Quântica a partícula em regiões onde E<U tem função de onda exponencial (barreira classically proibida), com “momento imaginário” na EDO, mas não energia cinética negativa real. A decomposição em energia média ainda satisfaz E=\langle K\rangle+\langle U\rangle, e o túnel é efeito quântico sem anular K\ge0 na zona clássica permitida.

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