*P14.40 A haste tem seção transversal circular com momento de inércia I. Se uma força vertical \mathbf{P} for aplicada em A, determine o deslocamento vertical neste ponto. Considere apenas a energia de deformação decorrente da flexão. O módulo de elasticidade é E.

Passo 1

Temos uma viga engastada numa extremidade (ponto O) e livre na outra (ponto A), de comprimento L, seção transversal circular com momento de inércia I e módulo de elasticidade E. Uma carga vertical \mathbf{P} é aplicada no ponto A. Precisamos encontrar o deslocamento vertical \delta em A considerando apenas a energia de deformação por flexão e empregando o Teorema de Castigliano.

Passo 2

Escolhemos como variável de integração a coordenada x medida a partir do engaste x=0 até o ponto A x=L. O momento fletor em uma seção a uma distância x do engaste é
M(x)=P\,(L - x),
pois a carga P atua somente na extremidade livre.

Passo 3

A energia de deformação por flexão da viga é dada por
U = \int_{0}^{L} \frac{M^2(x)}{2\,E\,I}\,dx.
Substituindo M(x)=P(L-x), vem
U = \int_{0}^{L} \frac{P^2\,(L-x)^2}{2\,E\,I}\,dx = \frac{P^2}{2\,E\,I}\,\int_{0}^{L}(L-x)^2\,dx.

Passo 4

Calculamos o integral:
\int_{0}^{L}(L-x)^2\,dx = \left[-\frac{(L-x)^3}{3}\right]_{0}^{L} = \frac{L^3}{3}.
Logo,
U = \frac{P^2}{2\,E\,I}\,\frac{L^3}{3} = \frac{P^2\,L^3}{6\,E\,I}.

Passo 5

Pelo Teorema de Castigliano, o deslocamento \delta na direção da carga P é
\delta = \frac{\partial U}{\partial P} = \frac{\partial}{\partial P}\Bigl(\frac{P^2\,L^3}{6\,E\,I}\Bigr) = \frac{2\,P\,L^3}{6\,E\,I} = \frac{P\,L^3}{3\,E\,I}.

Resposta

\boxed{\delta = \frac{P\,L^3}{3\,E\,I}.}

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