Na mecânica quântica postula-se que o estado de um sistema é completamente determinado pela função de onda correspondente. Um modelo bastante simples que permite analisar os conceitos associados ao comportamento de sistemas descritos pelas leis da mecânica quântica se chama partícula em uma caixa unidimensional. Sobre esse sistema, responda às questões abaixo.
(a) Dada a função energia potencial
V(x)= infty & se x <= 0 0 & se 0= L
obtenha a expressão para as funções de onda que correspondem a estados fisicamente aceitáveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre mecânica quântica que fala sobre uma partícula em uma caixa unidimensional. O enunciado nos dá a função de energia potencial e pede para encontrarmos as funções de onda que representam estados fisicamente aceitáveis. Para isso, vamos precisar usar o conceito de condições de contorno e resolver a equação de Schrödinger para esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função de energia potencial está nos dizendo. Ela é infinita quando e , e zero entre . Isso significa que a partícula está presa dentro de uma “caixa” de comprimento e não pode existir fora dela, porque a energia potencial lá é infinita.

Passo 3

Agora, dentro da caixa, onde -hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 = E psi(x) , a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula livre é dada por:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é a função de onda, e é a energia da partícula.

Passo 4

Vamos simplificar essa equação. Podemos reescrevê-la como:
d^2 psi(x)dx^2 + k^2 psi(x) = 0
onde psi(x) = A sin(kx) + B cos(kx) . Essa é a equação diferencial de uma onda harmônica, cuja solução geral é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 5

As condições de contorno são que a função de onda psi(0) = 0 e psi(L) = 0 deve ser zero nas paredes da caixa, ou seja:
psi(0) = A sin(0) + B cos(0) = B = 0
Vamos aplicar a primeira condição psi(x) = A sin(kx) :
Então, e a função de onda simplifica para:

Passo 6

Agora aplicamos a segunda condição psi(L) = A sin(kL) = 0 :
k = npiL
Para que isso seja verdadeiro, deve ser zero. Isso acontece quando , onde é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …). Então:

Passo 7

Substituindo psin(x) = A sin(npi xL) de volta na expressão para a função de onda, temos:
integral0^L |psin(x)|^2 dx = 1
Para determinar , usamos a condição de normalização, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula na caixa é 1:
Calculando essa integral, encontramos que .

Resposta

As funções de onda fisicamente aceitáveis são dadas por
psin(x) = raiz2L sin(npi xL),
onde

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