A média aritmética entre n e 4 excede em 0,5 a média geométrica entre esses mesmos valores. Quais os possíveis valores de
?
Passo 1
Vamos entender o que o problema está dizendo. Temos dois números,
e
. A média aritmética entre eles é maior que a média geométrica entre esses mesmos valores em
. Vamos usar conceitos de médias aritmética e geométrica para descobrir quais valores
pode ter.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a média aritmética e a média geométrica entre dois números.
-
Média Aritmética: É a soma dos números dividida por 2.
-
Média Geométrica: É a raiz quadrada do produto dos números.
Passo 3
Segundo o enunciado, a média aritmética excede a média geométrica em
. Isso significa que:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
. Primeiro, vamos eliminar a fração multiplicando todos os termos por 2:
Passo 5
Em seguida, vamos isolar os termos que contêm a raiz quadrada:
Passo 6
Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
Passo 7
Agora, vamos rearranjar a equação para formar uma equação quadrática:
Passo 8
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 9
Calculando os valores de
:
-
Para o sinal positivo (+):
-
Para o sinal negativo (-):
Passo 10
Vamos verificar se ambos os valores satisfazem a condição inicial.
-
Para
: - Média Aritmética:
- Média Geométrica:
- Diferença:
→ satisfaz.
- Média Aritmética:
-
Para
: - Média Aritmética:
- Média Geométrica:
- Diferença:
→ satisfaz.
- Média Aritmética:
Resposta
Os possíveis valores de
são
e
.