A média aritmética entre n e 4 excede em 0,5 a média geométrica entre esses mesmos valores. Quais os possíveis valores de n ?

Passo 1

Vamos entender o que o problema está dizendo. Temos dois números, n e 4. A média aritmética entre eles é maior que a média geométrica entre esses mesmos valores em 0,5. Vamos usar conceitos de médias aritmética e geométrica para descobrir quais valores n pode ter.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a média aritmética e a média geométrica entre dois números.
  • Média Aritmética: É a soma dos números dividida por 2.
    Média Aritmética = n + 42 éé
  • Média Geométrica: É a raiz quadrada do produto dos números.
    Média Geométrica = raizn times 4 = raiz4n = 2raizn éé

Passo 3

Segundo o enunciado, a média aritmética excede a média geométrica em 0,5. Isso significa que:
n + 42 = 2raizn + 0,5

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de n. Primeiro, vamos eliminar a fração multiplicando todos os termos por 2:
n + 4 = 4raizn + 1

Passo 5

Em seguida, vamos isolar os termos que contêm a raiz quadrada:
n + 4 - 1 = 4raizn
n + 3 = 4raizn

Passo 6

Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
(n + 3)^2 = (4raizn)^2
n^2 + 6n + 9 = 16n

Passo 7

Agora, vamos rearranjar a equação para formar uma equação quadrática:
n^2 + 6n + 9 - 16n = 0
n^2 - 10n + 9 = 0

Passo 8

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
n = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 times 1 times 92 times 1
n = 10 pm raiz100 - 362
n = 10 pm raiz642
n = 10 pm 82

Passo 9

Calculando os valores de n:
  • Para o sinal positivo (+):
    n = 10 + 82 = 182 = 9
  • Para o sinal negativo (-):
    n = 10 - 82 = 22 = 1

Passo 10

Vamos verificar se ambos os valores satisfazem a condição inicial.
  • Para n = 9:
    • Média Aritmética: (9 + 4)/2 = 6,5
    • Média Geométrica: 2raiz9 = 6
    • Diferença: 6,5 - 6 = 0,5 → satisfaz.
  • Para n = 1:
    • Média Aritmética: (1 + 4)/2 = 2,5
    • Média Geométrica: 2raiz1 = 2
    • Diferença: 2,5 - 2 = 0,5 → satisfaz.

Resposta

Os possíveis valores de n são 1 e 9.

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