As medidas dos três lados de um triângulo retângulo são números em progressão aritmética. Qual o valor da área do triângulo, sabendo-se que o menor lado mede 6 ?
Passo 1
O enunciado diz que temos um triângulo retângulo cujos três lados formam uma progressão aritmética (PA) e que o menor lado mede
. Vamos usar o fato de que, sendo
o primeiro termo da PA e
a razão, os lados são
sendo
e
a hipotenusa. Para resolver, precisaremos aplicar o Teorema de Pitágoras e a definição de PA.
Passo 2
Como os lados formam PA com primeiro termo
e razão
, eles são
Para ser triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa deve igualar a soma dos quadrados dos catetos. Logo, tomando
como hipotenusa, temos
Passo 3
Desenvolvendo a equação do Teorema de Pitágoras:
então
Subtraindo
dos dois lados sobra
Passo 4
Essa é uma equação quadrática em
. Reescrevendo
e usando a fórmula de Bhaskara:
As duas raízes são
ou
. Mas
levaria ao segundo termo nulo, então descartamos. Ficamos com
Passo 5
Substituindo
e
, os lados são
De fato,
.
Passo 6
A área de um triângulo retângulo é
Resposta
A área do triângulo é
.