As medidas dos três lados de um triângulo retângulo são números em progressão aritmética. Qual o valor da área do triângulo, sabendo-se que o menor lado mede 6 ?

Passo 1

O enunciado diz que temos um triângulo retângulo cujos três lados formam uma progressão aritmética (PA) e que o menor lado mede 6. Vamos usar o fato de que, sendo a o primeiro termo da PA e d a razão, os lados são
a,\quad a+d,\quad a+2d,
sendo a=6 e a+2d a hipotenusa. Para resolver, precisaremos aplicar o Teorema de Pitágoras e a definição de PA.

Passo 2

Como os lados formam PA com primeiro termo a e razão d, eles são
a,\quad a+d,\quad a+2d.
Para ser triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa deve igualar a soma dos quadrados dos catetos. Logo, tomando a+2d como hipotenusa, temos
a^2 + (a+d)^2 = (a+2d)^2.

Passo 3

Desenvolvendo a equação do Teorema de Pitágoras:
a^2 + (a+d)^2 = a^2 + 2ad + d^2,
(a+2d)^2 = a^2 + 4ad + 4d^2,
então
a^2 + a^2 + 2ad + d^2 = a^2 + 4ad + 4d^2.
Subtraindo a^2+4ad+4d^2 dos dois lados sobra
a^2 - 2ad - 3d^2 = 0.

Passo 4

Essa é uma equação quadrática em d. Reescrevendo
3d^2 + 2a d - a^2 = 0
e usando a fórmula de Bhaskara:
d = \frac{-2a \pm \sqrt{(2a)^2 +4\cdot3\cdot a^2}}{2\cdot3} =\frac{-2a \pm \sqrt{4a^2+12a^2}}{6} =\frac{-2a \pm 4a}{6}.
As duas raízes são d = \tfrac{a}{3} ou d = -a. Mas d=-a levaria ao segundo termo nulo, então descartamos. Ficamos com
d = \frac{a}{3}.

Passo 5

Substituindo a=6 e d=a/3=2, os lados são
6,\quad 6+2=8,\quad 6+2\cdot2=10.
De fato, 6^2+8^2=36+64=100=10^2.

Passo 6

A área de um triângulo retângulo é
\text{área} = \frac{1}{2}\times(\text{cateto}_1)\times(\text{cateto}_2) =\frac{1}{2}\times6\times8=24.á

Resposta

A área do triângulo é 24.

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