1. Medindo-se a tensão de uma rede doméstica com o multímetro, obteve-se cerca de 220 V . Quais os valores de pico, médio e RMS (eficaz) dessa tensão?

Passo 1

O enunciado diz que, ao medir a tensão de uma rede doméstica com o multímetro, obteve-se cerca de 220 V. As perguntas são: qual é o valor de pico dessa tensão, qual é o valor médio dessa tensão e qual é o valor eficaz (RMS) dessa tensão? As informações relevantes: a leitura do multímetro é 220 V (vamos assumir que essa leitura corresponde ao valor eficaz de uma tensão senoidal, pois a rede doméstica é, em geral, aproximadamente senoidal).

Passo 2

Vamos assumir que a tensão é senoidal e pode ser escrita como
v(t)=V_{p}\sin(\omega t),
onde V_{p} é a amplitude (valor de pico), \omega é a pulsação e t é o tempo. Aqui, \sin(\omega t) varia entre -1 e 1, então v(t) varia entre -V_{p} e V_{p}.

Passo 3

Definição de valor eficaz (RMS) e fórmula para senoide. O valor eficaz de uma função periódica v(t) com período T é
V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} [v(t)]^{2}\,dt}.
Aplicando essa definição para v(t)=V_{p}\sin(\omega t) temos
V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} V_{p}^{2}\sin^{2}(\omega t)\,dt} =V_{p}\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt}.
Sabemos (é um resultado padrão) que a média de \sin^{2} ao longo de um período é 1/2, isto é,
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt=\frac{1}{2}.
Portanto
V_{\text{rms}}=V_{p}\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{V_{p}}{\sqrt{2}}.
Isso nos dá a relação entre pico e RMS para uma senóide:
V_{p}=V_{\text{rms}}\sqrt{2}.

Passo 4

Cálculo do valor de pico a partir de V_{\text{rms}}=220 V. Usando a relação obtida,
V_{p}=220\sqrt{2}.
Calculando numericamente:
\sqrt{2}\approx 1,41421356,
portanto
V_{p}=220\cdot 1,41421356\approx 311,13.
Logo o valor de pico é cerca de 311,13 V (podemos arredondar para 311 V se preferir).

Passo 5

Cálculo do valor médio (médio sobre um período). O valor médio de uma função periódica v(t) sobre um período T é
V_{\text{médio}}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v(t)\,dt.é
Para v(t)=V_{p}\sin(\omega t) temos
V_{\text{médio}}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} V_{p}\sin(\omega t)\,dt =V_{p}\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin(\omega t)\,dt.é
A integral de \sin(\omega t) sobre um período é zero (metade do tempo é positiva e metade é negativa, simetricamente), então
V_{\text{médio}}=0.é
Observação didática: às vezes aparece o termo “valor médio retificado” (média do valor absoluto, usada quando se retifica a onda). Esse valor é diferente e vale \dfrac{2}{\pi}V_{p} para uma senóide (se quiser, posso calcular esse valor também). Mas o valor médio convencional sobre o período é 0.

Resposta

Pico: 311,13\\ \mathrm{V}
Médio (sobre um período): 0\\ \mathrm{V}
RMS (eficaz): 220\\ \mathrm{V}

Exercícios relacionados