A meia-vida da decomposição de primeira ordem de A é 355s. Qual é o tempo necessário para que a concentração de A caia até
um quarto;
um quarto;
Passo 1
O enunciado dá a meia-vida da decomposição de primeira ordem de
e pede o tempo necessário para a concentração de
cair até um quarto do valor inicial. Informações dadas:
- Meia-vida:
.
O que se pede: - Encontrar o tempo
tal que a concentração em seja da concentração inicial.
Passo 2
Vamos lembrar o modelo para uma reação de primeira ordem. A lei de decaimento exponencial é
onde:
-
é a concentração de no tempo , -
é a concentração inicial de , -
é a constante de velocidade (taxa) de primeira ordem, com unidades , -
é o tempo em segundos.
Essa fórmula vem de resolver a equação diferencial. Se quiser, pense: a velocidade de queda é proporcional à quantidade presente, o que gera exponencial.
Passo 3
A meia-vida
é o tempo necessário para que a concentração caia à metade, ou seja
. Substituindo na lei exponencial:
Cancelando
e resolvendo para
obtemos a relação bem conhecida para ordem 1:
portanto
Aqui
é o logaritmo natural.
Passo 4
Agora impomos a condição desejada: queremos
. Usando a lei exponencial:
Cancelando
obtemos
Passo 5
Resolver para
. Tomando logaritmo natural:
logo
Usando que
, temos
Passo 6
Substituir a expressão de
obtida a partir da meia-vida,
, na fórmula para
:
Isto é uma forma intuitiva: atingir
corresponde a duas meias-vidas (metade da metade).
Passo 7
Calcular numericamente com
: