A meia-vida da decomposição de primeira ordem de A é 355s. Qual é o tempo necessário para que a concentração de A caia até
um quarto;

Passo 1

O enunciado dá a meia-vida da decomposição de primeira ordem de A e pede o tempo necessário para a concentração de A cair até um quarto do valor inicial. Informações dadas:
  • Meia-vida: t_{1/2}=355\\ \text{s}.
    O que se pede:
  • Encontrar o tempo t tal que a concentração em t seja \tfrac{1}{4} da concentração inicial.

Passo 2

Vamos lembrar o modelo para uma reação de primeira ordem. A lei de decaimento exponencial é
[A](t) = [A]_0\,e^{-k t},
onde:
  • [A](t) é a concentração de A no tempo t,
  • [A]_0 é a concentração inicial de A,
  • k é a constante de velocidade (taxa) de primeira ordem, com unidades \text{s}^{-1},
  • t é o tempo em segundos.
    Essa fórmula vem de resolver a equação diferencial \dfrac{d[A]}{dt}=-k[A]. Se quiser, pense: a velocidade de queda é proporcional à quantidade presente, o que gera exponencial.

Passo 3

A meia-vida t_{1/2} é o tempo necessário para que a concentração caia à metade, ou seja [A](t_{1/2})=[A]_0/2. Substituindo na lei exponencial:
\frac{[A]_0}{2} = [A]_0\,e^{-k t_{1/2}}.
Cancelando [A]_0 e resolvendo para k obtemos a relação bem conhecida para ordem 1:
e^{-k t_{1/2}}=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad -k t_{1/2}=\ln\!\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 2,
portanto
k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}}.
Aqui \ln é o logaritmo natural.

Passo 4

Agora impomos a condição desejada: queremos [A](t)=[A]_0/4. Usando a lei exponencial:
\frac{[A]_0}{4} = [A]_0\,e^{-k t}.
Cancelando [A]_0 obtemos
e^{-k t}=\frac{1}{4}.

Passo 5

Resolver para t. Tomando logaritmo natural:
-k t = \ln\!\left(\frac{1}{4}\right) = -\ln 4,
logo
t=\frac{\ln 4}{k}.
Usando que \ln 4 = \ln(2^2)=2\ln 2, temos
t=\frac{2\ln 2}{k}.

Passo 6

Substituir a expressão de k obtida a partir da meia-vida, k=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}, na fórmula para t:
t=\frac{2\ln 2}{\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}}=2\,t_{1/2}.
Isto é uma forma intuitiva: atingir \tfrac{1}{4} corresponde a duas meias-vidas (metade da metade).

Passo 7

Calcular numericamente com t_{1/2}=355\\ \text{s}:
t=2\cdot 355\\ \text{s}=710\\ \text{s}.

Resposta

710\\ \text{s}