O que se pede: usar os critérios de Tresca e de Von Mises para decidir se o material escoa ou não com esses valores.
Passo 2
Observação importante sobre o tensor: o tensor de tensões de Cauchy é físico e deve ser simétrico. Provavelmente houve um erro de sinal no enunciado: o termo de cisalhamento superior \sigma_{12}=30\\ \mathrm{MPa} e o inferior deveria ser \sigma_{21}=30\\ \mathrm{MPa}. Vou assumir então a forma simétrica usual (caso contrário a parte antissimétrica corresponde a torques rígidos e não contribui para o estado de tensões internas que causa escoamento). Assim uso
Para completar o conjunto de autovalores em 3D (plane stress) usamos \sigma_3=0.
Passo 4
Critério de Tresca — ideia e aplicação.
Ideia: Tresca diz que o escoamento começa quando a máxima tensão de cisalhamento alcança k=\dfrac{\sigma_{e}}{2}. A máxima tensão de cisalhamento pode ser escrita em termos das tensões principais como \tau_{\max}=\dfrac{1}{2}\max\big(|\sigma_i-\sigma_j|\big).
Procedimento prático: é equivalente verificar se \max\big(|\sigma_i-\sigma_j|\big)\ge \sigma_{e}.
Calcule as diferenças principais (com \sigma_1=70, \sigma_2=-30, \sigma_3=0):
A maior diferença é 100\\ \mathrm{MPa}. Comparando com \sigma_e=90\\ \mathrm{MPa}:
100\\ \mathrm{MPa}\ge 90\\ \mathrm{MPa},
portanto pelo critério de Tresca o material já atingiu o escoamento (escoa).
Passo 5
Critério de Von Mises — ideia e aplicação.
Ideia: Von Mises usa uma tensão equivalente \sigma_{\mathrm{VM}} que combina as diferenças entre tensões principais; o escoamento ocorre se \sigma_{\mathrm{VM}}\ge\sigma_{e}.
Fórmula (em termos das tensões principais \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3):
portanto pelo critério de Von Mises o material ainda NÃO atingiu o escoamento (não escoa).
Passo 6
Interpretação final e comentário amigável:
Os dois critérios não dão sempre o mesmo resultado: aqui Tresca é mais conservador (previu escoamento) enquanto Von Mises não prevê escoamento, porque Tresca usa a máxima diferença direta entre tensões principais e Von Mises combina as três diferenças de forma quadrática.
Resultado prático: com os dados e a suposição de simetria feita, Tresca indica escoamento e Von Mises indica que não houve escoamento. Se for necessário decidir em projeto, escolha o critério que seu código de projeto/curso exige (normalmente Von Mises é mais usado para materiais dúcteis, mas Tresca dá margem de segurança diferente).