Por meio dos critérios de Tresca e de Von Mises determine se o material escoa ou não.
Dados:
\sigma_{e}=90 M p a
\sigma_{i j}=\left[\begin{array}{cc} 60 & 30 \\\\ -30 & -20 \end{array}\right](M P a)

Passo 1

O enunciado nos dá a tensão de escoamento do material e a matriz de tensões:
  • Tensão de escoamento: \sigma_{e}=90\\ \mathrm{MPa}.
  • Tensor (matriz) das tensões no plano:
\sigma_{ij}=\begin{bmatrix}60 & 30\\\\ -30 & -20\end{bmatrix}\\ (\mathrm{MPa}).
O que se pede: usar os critérios de Tresca e de Von Mises para decidir se o material escoa ou não com esses valores.

Passo 2

Observação importante sobre o tensor: o tensor de tensões de Cauchy é físico e deve ser simétrico. Provavelmente houve um erro de sinal no enunciado: o termo de cisalhamento superior \sigma_{12}=30\\ \mathrm{MPa} e o inferior deveria ser \sigma_{21}=30\\ \mathrm{MPa}. Vou assumir então a forma simétrica usual (caso contrário a parte antissimétrica corresponde a torques rígidos e não contribui para o estado de tensões internas que causa escoamento). Assim uso
\sigma_{x}=\;60\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_{y}=-20\\ \mathrm{MPa},\qquad \tau_{xy}=30\\ \mathrm{MPa}.
Também assumo condição de plane stress (tensão fora do plano \sigma_{z}=0), que é o caso típico quando só se dá uma matriz 2\times2.

Passo 3

Calcular as tensões principais \sigma_1 e \sigma_2 no plano 2D. Fórmula para tensões principais em 2D:
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
Substituindo os valores:
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{60+(-20)}{2}=20\\ \mathrm{MPa},
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{60-(-20)}{2}=40\\ \mathrm{MPa},
\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2=40^2+30^2=1600+900=2500,
\sqrt{2500}=50\\ \mathrm{MPa}.
Logo
\sigma_1=20+50=70\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_2=20-50=-30\\ \mathrm{MPa}.
Para completar o conjunto de autovalores em 3D (plane stress) usamos \sigma_3=0.

Passo 4

Critério de Tresca — ideia e aplicação.
  • Ideia: Tresca diz que o escoamento começa quando a máxima tensão de cisalhamento alcança k=\dfrac{\sigma_{e}}{2}. A máxima tensão de cisalhamento pode ser escrita em termos das tensões principais como \tau_{\max}=\dfrac{1}{2}\max\big(|\sigma_i-\sigma_j|\big).
  • Procedimento prático: é equivalente verificar se \max\big(|\sigma_i-\sigma_j|\big)\ge \sigma_{e}.
Calcule as diferenças principais (com \sigma_1=70, \sigma_2=-30, \sigma_3=0):
|\sigma_1-\sigma_2|=|70-(-30)|=100\\ \mathrm{MPa},
|\sigma_1-\sigma_3|=|70-0|=70\\ \mathrm{MPa},
|\sigma_2-\sigma_3|=|-30-0|=30\\ \mathrm{MPa}.
A maior diferença é 100\\ \mathrm{MPa}. Comparando com \sigma_e=90\\ \mathrm{MPa}:
100\\ \mathrm{MPa}\ge 90\\ \mathrm{MPa},
portanto pelo critério de Tresca o material já atingiu o escoamento (escoa).

Passo 5

Critério de Von Mises — ideia e aplicação.
  • Ideia: Von Mises usa uma tensão equivalente \sigma_{\mathrm{VM}} que combina as diferenças entre tensões principais; o escoamento ocorre se \sigma_{\mathrm{VM}}\ge\sigma_{e}.
  • Fórmula (em termos das tensões principais \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3):
\sigma_{\mathrm{VM}}=\sqrt{\frac{1}{2}\Big[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\Big]}.
Substituindo \sigma_1=70, \sigma_2=-30, \sigma_3=0:
(\sigma_1-\sigma_2)^2=100^2=10000,
(\sigma_2-\sigma_3)^2=(-30-0)^2=900,
(\sigma_3-\sigma_1)^2=(0-70)^2=4900.
Somando:
10000+900+4900=15800.
Metade:
\frac{1}{2}\cdot15800=7900.
Raiz:
\sigma_{\mathrm{VM}}=\sqrt{7900}\approx88{,}89\\ \mathrm{MPa}.
Comparando com \sigma_e=90\\ \mathrm{MPa}:
88{,}89\\ \mathrm{MPa}<90\\ \mathrm{MPa},
portanto pelo critério de Von Mises o material ainda NÃO atingiu o escoamento (não escoa).

Passo 6

Interpretação final e comentário amigável:
  • Os dois critérios não dão sempre o mesmo resultado: aqui Tresca é mais conservador (previu escoamento) enquanto Von Mises não prevê escoamento, porque Tresca usa a máxima diferença direta entre tensões principais e Von Mises combina as três diferenças de forma quadrática.
  • Resultado prático: com os dados e a suposição de simetria feita, Tresca indica escoamento e Von Mises indica que não houve escoamento. Se for necessário decidir em projeto, escolha o critério que seu código de projeto/curso exige (normalmente Von Mises é mais usado para materiais dúcteis, mas Tresca dá margem de segurança diferente).

Resposta

Tresca: escoa.
Von Mises: não escoa.

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