A melhor bomba de vácuo de laboratório pode gerar um vácuo de cerca de 1 nTorr. A 25^circ C e assumindo que o ar consiste em moléculas de N2 com um diâmetro de colisão de 395 pm , calcule (a) a velocidade média quadrática das moléculas, (b) o caminho livre médio e © a frequência de colisão no gás.
[1 pm=10^-12 m] M(N2)=28,02 g mol^-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma bomba de vácuo que consegue atingir um vácuo de 1 nTorr. Estamos a 25°C e o ar é composto por moléculas de N2 com um diâmetro de colisão de 395 pm. Precisamos calcular três coisas: (a) a velocidade média quadrática das moléculas, (b) o caminho livre médio, e © a frequência de colisão no gás. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinética dos gases, como a velocidade rms, o caminho livre e a frequência de colisão, além de algumas fórmulas matemáticas que envolvem essas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade média quadrática das moléculas de N2. A fórmula para a velocidade rms é:
vrms = raiz3RTM
Onde:
  • R é a constante dos gases ( 8,314 , J/mol·K),
  • T é a temperatura em Kelvin,
  • M é a massa molar do gás em kg/mol.
Vamos converter a temperatura para Kelvin:
T = 25°C + 273,15 = 298,15 , K
E a massa molar de N2:
M = 28,02 , g/mol = 0,02802 , kg/mol
Substituindo na fórmula:
vrms = raiz3 times 8,314 , J/mol·K times 298,15 , K0,02802 , kg/mol
Calculando:
vrms approx raiz7444,50,02802 approx raiz265,856 approx 16,31 , m/s

Passo 3

Agora, vamos calcular o caminho livre médio ( lambda). A fórmula é:
lambda = kB Traiz2 pi d^2 P
Onde:
  • kB é a constante de Boltzmann ( 1,38 times 10^-23 , J/K),
  • T é a temperatura em Kelvin,
  • d é o diâmetro de colisão das moléculas,
  • P é a pressão.
Primeiro, vamos converter o diâmetro de colisão para metros:
d = 395 , pm = 395 times 10^-12 , m = 3,95 times 10^-10 , m
E a pressão em Pascal:
1 , Torr = 133,322 , Pa Rightarrow 1 , nTorr = 1 times 10^-9 times 133,322 , Pa approx 1,33322 times 10^-7 , Pa
Substituindo na fórmula:
lambda = 1,38 times 10^-23 times 298,15raiz2 times pi times (3,95 times 10^-10)^2 times 1,33322 times 10^-7
Calculando:
lambda approx 4,113 times 10^-217,424 times 10^-26 approx 5,54 times 10^4 , m

Passo 4

Por fim, vamos calcular a frequência de colisão ( Z). A fórmula é:
Z = raiz2 pi d^2 n vrms
Onde:
  • n é a densidade numérica das moléculas.
Para encontrar n, usamos a relação entre pressão, temperatura e número de moléculas:
P = n kB T Rightarrow n = PkB T
Substituindo os valores:
n = 1,33322 times 10^-71,38 times 10^-23 times 298,15 approx 3,23 times 10^16 , mol/m^3
Agora, substituindo na fórmula de Z:
Z = raiz2 times pi times (3,95 times 10^-10)^2 times 3,23 times 10^16 times 16,31
Calculando:
Z approx 1,414 times 3,1416 times 1,560 times 10^-19 times 3,23 times 10^16 times 16,31 approx 4,65 times 10^3 , s^-1

Resposta

(a) A velocidade média quadrática das moléculas é aproximadamente 16,31 , m/s.
(b) O caminho livre médio é cerca de 5,54 times 10^4 , m.
© A frequência de colisão no gás é aproximadamente 4,65 times 10^3 , s^-1.

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