1. Um menino empina um papagaio a 24 m de altura e o vento sopra horizontalmente distanciando-o do menino a 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Com que velocidade o menino solta a linha quando o papagaio está 30 m longe dele?
    A distância do menino até o papagaio representada por L, a altura de 24 m do papagaio e e a distância do menino até o ponto logo abaixo da posição do papagaio formam um triângulo retângulo, da qual se retira a seguinte relação:
L^{2}=x^{2}+24^{2}
Figura 29: Situação
Derivando em relação ao tempo ambos os lados da equação obtemos:
\frac{d L}{d t}=\frac{x}{L} \frac{d x}{d t}
Sabendo que \frac{d x}{d t}=6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} tem-se \frac{d L}{d t}=\frac{6 x}{L}. Agora, basta substituirmos L=30 \mathrm{~m} e x=18 \mathrm{~m} e obtemos
\frac{d L}{d t}=3,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado descreve um papagaio preso a uma linha de comprimento L voando a uma altura constante de 24 m acima do menino, enquanto o vento afasta o papagaio horizontalmente com velocidade de 6 m/s. Precisamos calcular a taxa de variação \frac{dL}{dt} (velocidade com que a linha é solta) no instante em que L=30 m. Como teoria, vamos usar o Teorema de Pitágoras e diferenciação implícita em relação ao tempo.

Passo 2

Pela relação do triângulo retângulo formado pela altura fixa e pela distância horizontal x, temos
L^{2}=x^{2}+24^{2}.
Diferenciando ambos os lados em relação a t obtemos
2L\,\frac{dL}{dt}=2x\,\frac{dx}{dt}.

Passo 3

Isolando \frac{dL}{dt}, dividimos ambos os lados por 2L:
\frac{dL}{dt}=\frac{x}{L}\,\frac{dx}{dt}.

Passo 4

No instante em que L=30 m, calculamos
x=\sqrt{L^{2}-24^{2}} =\sqrt{30^{2}-24^{2}} =\sqrt{900-576} =\sqrt{324} =18\text{ m}.
Como \frac{dx}{dt}=6 m/s, substituindo em \frac{dL}{dt}=\frac{x}{L}\,\frac{dx}{dt}
\frac{dL}{dt} =\frac{18}{30}\times6 =3,6\text{ m/s}.

Resposta

A velocidade com que o menino solta a linha é 3,6 m/s.

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