Questão 4: Um tanque rígido isolado contém 2 kg de um gás a 300 \mathrm{~K} \mathrm{e} 100 \mathrm{kPa} . \mathrm{Um} aquecedor interno de 1 kW é ligado. Pergunta-se:
(a) Determine a taxa de variação da energia total armazenada ( \mathrm{dE} / \mathrm{dt} ).
(b) Se a energia interna do gás está relacionada à temperatura por u=1,1 \mathrm{~T}(\mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}), onde T está em Kelvin, determine a taxa de aumento da temperatura.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque rígido e termicamente isolado que contém m=2 kg de gás à temperatura inicial T_0=300 K e pressão 100 kPa. Um aquecedor interno fornece potência \dot Q=1 kW. Pede-se:
(a) a taxa de variação da energia total armazenada \displaystyle \frac{dE}{dt};
(b) a taxa de aumento da temperatura \displaystyle \frac{dT}{dt}, sabendo que a energia interna específica do gás é dada por u=1{,}1\,T (kJ/kg).

Passo 2

Aplicamos o balanço de energia para sistema fechado (sem fluxo de massa):
\frac{dE}{dt} \;=\;\dot Q \;-\;\dot W.
Como o tanque é rígido, não há trabalho de fronteira \dot W=0, logo
\frac{dE}{dt} \;=\;\dot Q \;=\;1\;\text{kW}.

Passo 3

Desprezando variações de energia cinética e potencial, a energia total E do gás se reduz à energia interna m\,u, ou seja
E \approx m\,u \quad\Longrightarrow\quad \frac{dE}{dt} \;=\;m\,\frac{du}{dt}.

Passo 4

Pela relação u=1{,}1\,T (kJ/kg), tem-se
\frac{du}{dt} \;=\;1{,}1\,\frac{dT}{dt}.
Substituindo em \displaystyle \frac{dE}{dt}=m\,\frac{du}{dt} e usando \dot Q=1 kJ/s, obtém-se
1 \;=\;2\cdot\Bigl(1{,}1\,\frac{dT}{dt}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dT}{dt} \;=\;\frac{1}{2{,}2} \;\approx\;0{,}455\;\text{K/s}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dE}{dt}=1 kW.
(b) \displaystyle \frac{dT}{dt}\approx0{,}455 K/s.

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