Questão 3: Ar entra em um sistema aberto com velocidade de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e densidade de 1 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} a 400 K através de um tubo com seção transversal de 12 \mathrm{~cm}^{2}. A massa de ar no tanque em um dado instante é dada pela expressão m=5 p / \mathrm{T}, onde p está em kPa e T está em K. Se a temperatura no tanque permanece constante em 400 K devido à transferência de calor, pode-se:
(a) Determine a taxa de aumento da pressão no tanque.
(b) Qual é o sinal da transferência de calor, positiva (1) ou negativa (-1)?

Passo 1

O enunciado trata de um sistema aberto (um tanque) onde o ar entra a 400,K com velocidade de 2,m/s e densidade de 1,kg/ m^{3} através de um tubo de área 12,c m^{2}. A massa no tanque obedece
m = \frac{5\,p}{T}
com p em kPa e T em K. Como T fica constante em 400,K, precisamos usar balanço de massa para achar \dot p e depois avaliar o sinal de Q.

Passo 2

O fluxo de massa que entra é
\dot m_{\text{in}} = \rho\,v\,A
onde \rho=1,kg/ m^{3}, v=2,m/s e A=12\text{ cm}^2=1{,}2\times10^{-3}, m^{2}. Logo,
\dot m_{\text{in}} = 1\cdot 2\cdot 1{,}2\times10^{-3} = 2{,}4\times10^{-3}\\ \text{kg/s}.

Passo 3

Como não há saída de massa, a acumulação é
\frac{d m}{d t} = \dot m_{\text{in}} = 2{,}4\times10^{-3}\\ \text{kg/s}.
Mas m e p estão ligados por
m = \frac{5\,p}{T} \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{5\,p}{400} = \frac{p}{80}.
Diferenciando em relação a t,
\frac{d m}{d t} = \frac{1}{80}\,\frac{d p}{d t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d p}{d t} = 80\,\frac{d m}{d t}.

Passo 4

Substituindo \tfrac{d m}{d t}=2{,}4\times10^{-3},kg/s,
\frac{d p}{d t} = 80 \times 2{,}4\times10^{-3} = 0{,}192\\ \text{kPa/s}.

Passo 5

Para manter a temperatura constante, o calor trocado deve compensar a energia (entalpia) que o ar entra. Como a pressão (e, portanto, energia interna) do tanque aumenta, é preciso retirar calor do sistema. Logo, Q é negativo.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{d p}{d t}=0{,}192\\ \text{kPa/s}.
(b) O sinal da transferência de calor é -1 (isto é, Q<0).

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