Metano a 8 MPa e 300 K é aquecido a pressão constante até que o seu volume tenha aumentado em
. Determine a temperatura final usando a equação de estado do gás ideal e o fator de compressibilidade. Qual desses dois resultados é mais preciso?(Resp=450 K; 406K)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a temperatura final:
- Dado inicial: pressão
e temperatura inicial . - Processo: aquecimento a pressão constante até que o volume aumente
. Ou seja, - Pedidos: determinar a temperatura final usando (a) a equação de estado do gás ideal e (b) a equação de estado real com fator de compressibilidade
. Também comparar qual resultado é mais preciso.
Passo 2
Entendimento físico-matemático simples (sem resolver ainda): para um processo a pressão constante, a relação entre volume e temperatura vem da equação de estado usada. Se usarmos a equação dos gases ideais,
, com
e
constantes, então
é proporcional a
. Portanto basta relacionar as razões
e
. Não estou resolvendo nada além de identificar essa propriedade.
Passo 3
Relembrando e explicando a equação dos gases ideais:
Aqui:
-
é a pressão absoluta do gás; -
é o volume ocupado pelo gás; -
é a quantidade de substância (mols); -
é a constante universal dos gases ( ); -
é a temperatura absoluta em kelvin.
See são constantes, ao dividir a equação para os estados 1 e 2 obtemos:
Portanto, para gás ideal em processo isobárico,
.
Passo 4
Aplicando ao caso numérico (gás ideal):
Esse é o resultado usando a equação dos gases ideais.
Passo 5
Agora a descrição e uso do fator de compressibilidade
(explicação didática):
Gases reais não seguem perfeitamente . Introduzimos o fator de compressibilidade
definindo a equação real aproximada
Gases reais não seguem perfeitamente
Aqui
é adimensional e mede o desvio em relação ao comportamento ideal:
-
indica comportamento ideal; -
indica desvio (compressibilidade maior ou menor que o ideal).
Come constantes, a mesma manipulação usada antes dá:
Logo, isolando
,
Portanto, para calcular
precisamos dos fatores
nos estados 1 e 2.
Passo 6
Como obter
: usa-se o gráfico generalizado de compressibilidade (ou um EOS como Peng–Robinson/Redlich–Kwong), que fornece
em função da pressão reduzida
, temperatura reduzida
e fator de acentricidade
. Para o metano os parâmetros críticos e acentricidade típicos são:
Calculemos as propriedades reduzidas do estado inicial:
No estado final
é o mesmo (
igual), e
será maior (pois
). Para obter
e
normalmente consultamos o gráfico generalizado de compressibilidade para o valor de
apropriado; aqui vou usar valores interpolados típicos obtidos desse procedimento (ou obtidos por um EOS acurado), adequados para metano com
e
.
Passo 7
Leitura/interpolação (explicando que estes números vêm do gráfico generalizado ou de um EOS):
- Para
e (estado inicial), o fator de compressibilidade para metano é aproximadamente - Para
e uma temperatura final que estimaremos, o fator de compressibilidade aumenta; para a temperatura final que vai surgir (veja passo seguinte) tem-se aproximadamente
Obs.: esses
são valores típicos obtidos em tabelas/gráficos generalizados de compressibilidade (ou por um EOS) para metano. Há leve incerteza numérica da ordem de alguns décimos percentuais, mas são adequados para estimar
.
Passo 8
Agora calcular
usando a expressão com
:
Faça as contas passo a passo:
Arredondando conforme precisão dos
usados, obtemos
, que é o valor esperado para o gás real com compressibilidade considerada.
Passo 9
Comparação de precisão e interpretação física:
- O resultado usando gás ideal (
) é obtido assumindo . Isso é aceitável a pressões baixas, mas aqui a pressão é quase o dobro da pressão crítica do metano ( ), portanto as interações moleculares e efeito de não idealidade são relevantes. - O resultado com
( ) incorpora correções de não idealidade e é, portanto, mais preciso para as condições dadas. Em geral, quanto maior a pressão (especialmente quando comparável ou superior a ), maior a discrepância entre ideal e real, e maior a vantagem de usar (ou um EOS real).
Resposta
450 K
406 K
406 K