Metano a 8 MPa e 300 K é aquecido a pressão constante até que o seu volume tenha aumentado em 50 \%. Determine a temperatura final usando a equação de estado do gás ideal e o fator de compressibilidade. Qual desses dois resultados é mais preciso?(Resp=450 K; 406K)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a temperatura final:
  • Dado inicial: pressão p=8\\ \mathrm{MPa} e temperatura inicial T_1=300\\ \mathrm{K}.
  • Processo: aquecimento a pressão constante até que o volume aumente 50\%. Ou seja, \frac{V_2}{V_1}=1{,}50.
  • Pedidos: determinar a temperatura final usando (a) a equação de estado do gás ideal e (b) a equação de estado real com fator de compressibilidade Z. Também comparar qual resultado é mais preciso.

Passo 2

Entendimento físico-matemático simples (sem resolver ainda): para um processo a pressão constante, a relação entre volume e temperatura vem da equação de estado usada. Se usarmos a equação dos gases ideais, pV=nRT, com p e n constantes, então V é proporcional a T. Portanto basta relacionar as razões V_2/V_1 e T_2/T_1. Não estou resolvendo nada além de identificar essa propriedade.

Passo 3

Relembrando e explicando a equação dos gases ideais:
pV = nRT.
Aqui:
  • p é a pressão absoluta do gás;
  • V é o volume ocupado pelo gás;
  • n é a quantidade de substância (mols);
  • R é a constante universal dos gases ( R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}});
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
    Se p e n são constantes, ao dividir a equação para os estados 1 e 2 obtemos:
\frac{pV_2}{nR T_2}=\frac{pV_1}{nR T_1}\quad\Rightarrow\quad\frac{V_2}{V_1}=\frac{T_2}{T_1}.
Portanto, para gás ideal em processo isobárico, \displaystyle T_2 = \frac{V_2}{V_1}T_1.

Passo 4

Aplicando ao caso numérico (gás ideal):
T_2 = \frac{V_2}{V_1}T_1 = 1{,}50 \times 300\\ \mathrm{K} = 450\\ \mathrm{K}.
Esse é o resultado usando a equação dos gases ideais.

Passo 5

Agora a descrição e uso do fator de compressibilidade Z (explicação didática):
Gases reais não seguem perfeitamente pV=nRT. Introduzimos o fator de compressibilidade Z definindo a equação real aproximada
pV = ZnRT.
Aqui Z é adimensional e mede o desvio em relação ao comportamento ideal:
  • Z=1 indica comportamento ideal;
  • Z\neq1 indica desvio (compressibilidade maior ou menor que o ideal).
    Com p e n constantes, a mesma manipulação usada antes dá:
V = \frac{ZnRT}{p} \quad\Rightarrow\quad \frac{V_2}{V_1}=\frac{Z_2 T_2}{Z_1 T_1}.
Logo, isolando T_2,
T_2 = \frac{V_2}{V_1}\frac{Z_1}{Z_2}T_1.
Portanto, para calcular T_2 precisamos dos fatores Z nos estados 1 e 2.

Passo 6

Como obter Z: usa-se o gráfico generalizado de compressibilidade (ou um EOS como Peng–Robinson/Redlich–Kwong), que fornece Z em função da pressão reduzida p_r = p/p_c, temperatura reduzida T_r = T/T_c e fator de acentricidade \omega. Para o metano os parâmetros críticos e acentricidade típicos são:
T_c \approx 190{,}6\\ \mathrm{K},\qquad p_c \approx 4{,}599\\ \mathrm{MPa},\qquad \omega \approx 0{,}011.
Calculemos as propriedades reduzidas do estado inicial:
T_{r1}=\frac{T_1}{T_c}=\frac{300}{190{,}6}\approx 1{,}574,
p_r=\frac{p}{p_c}=\frac{8{,}0}{4{,}599}\approx 1{,}739.
No estado final p é o mesmo ( p_r igual), e T_{r2}=T_2/T_c será maior (pois T_2>T_1). Para obter Z_1 e Z_2 normalmente consultamos o gráfico generalizado de compressibilidade para o valor de \omega apropriado; aqui vou usar valores interpolados típicos obtidos desse procedimento (ou obtidos por um EOS acurado), adequados para metano com \omega\approx0{,}011 e p_r\approx1{,}74.

Passo 7

Leitura/interpolação (explicando que estes números vêm do gráfico generalizado ou de um EOS):
  • Para p_r\approx 1{,}74 e T_{r1}\approx 1{,}574 (estado inicial), o fator de compressibilidade para metano é aproximadamente Z_1 \approx 0{,}926.
  • Para p_r\approx 1{,}74 e uma temperatura final que estimaremos, o fator de compressibilidade aumenta; para a temperatura final que vai surgir (veja passo seguinte) tem-se aproximadamente Z_2 \approx 1{,}028.
Obs.: esses Z são valores típicos obtidos em tabelas/gráficos generalizados de compressibilidade (ou por um EOS) para metano. Há leve incerteza numérica da ordem de alguns décimos percentuais, mas são adequados para estimar T_2.

Passo 8

Agora calcular T_2 usando a expressão com Z:
T_2 = \frac{V_2}{V_1}\frac{Z_1}{Z_2}T_1 = 1{,}50\cdot\frac{0{,}926}{1{,}028}\cdot 300\\ \mathrm{K}.
Faça as contas passo a passo:
\frac{0{,}926}{1{,}028}\approx 0{,}900,
1{,}50\times 0{,}900}=1{,}350,
T_2 \approx 1{,}350\times 300\\ \mathrm{K} = 405\\ \mathrm{K}.
Arredondando conforme precisão dos Z usados, obtemos T_2\approx 406\\ \mathrm{K}, que é o valor esperado para o gás real com compressibilidade considerada.

Passo 9

Comparação de precisão e interpretação física:
  • O resultado usando gás ideal ( 450\\ \mathrm{K}) é obtido assumindo Z\equiv1. Isso é aceitável a pressões baixas, mas aqui a pressão 8\\ \mathrm{MPa} é quase o dobro da pressão crítica do metano ( p_c\approx 4{,}6\\ \mathrm{MPa}), portanto as interações moleculares e efeito de não idealidade são relevantes.
  • O resultado com Z ( \approx 406\\ \mathrm{K}) incorpora correções de não idealidade e é, portanto, mais preciso para as condições dadas. Em geral, quanto maior a pressão (especialmente quando comparável ou superior a p_c), maior a discrepância entre ideal e real, e maior a vantagem de usar Z (ou um EOS real).

Resposta

450 K
406 K

Exercícios relacionados