(2.0) O método de integração por partes é uma técnica de cálculo integral utilizada para resolver integrais que envolvem o produto de duas funções. Muitas vezes, essas integrais não podem ser resolvidas diretamente por métodos simples, como a substituição, tornando necessário o uso de uma estratégia mais elaborada. A fórmula da integração por partes, dada a seguir, é baseada na regra do produto da derivada,
\int u \cdot d v=u \cdot v-\int v \cdot d u
Calcule a integral utilizando o método integração por partes:
\int \frac{\ln 2 x}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{\ln 2 x}{x^{2}}\,dx.
Para prosseguir vou interpretar a notação \ln 2 x como \ln(2x) (essa é a leitura usual quando se quer aplicar integração por partes nessa forma). O que se pede, portanto, é encontrar uma primitiva de \dfrac{\ln(2x)}{x^{2}}.

Passo 2

Relembrando a fórmula da integração por partes, que vem da regra do produto da derivada: para duas funções u(x) e v(x),
\int u\,dv = u\cdot v - \int v\,du.
Aqui du é a derivada de u multiplicada por dx (ou seja du = u'(x)\,dx) e v é uma primitiva de dv (ou seja v'=dv/dx). A ideia é escolher u e dv de modo que du seja mais simples que u e que v seja fácil de obter.

Passo 3

Escolha das parcelas para integração por partes. Uma escolha natural é:
u=\ln(2x),\qquad dv=\frac{1}{x^{2}}\,dx = x^{-2}\,dx,
porque a derivada de \ln(2x) simplifica bastante (vai virar 1/x) e dv é fácil de integrar.

Passo 4

Calcular du e v.
Derivada de u=\ln(2x): aplicar a regra da cadeia.
\frac{d}{dx}\ln(2x)=\frac{1}{2x}\cdot 2=\frac{1}{x},
portanto
du=\frac{1}{x}\,dx.
Agora obter v como primitiva de dv=x^{-2}\,dx:
v=\int x^{-2}\,dx=\int x^{-2}\,dx = -x^{-1} = -\frac{1}{x}.

Passo 5

Aplicar a fórmula da integração por partes:
\int \frac{\ln(2x)}{x^{2}}\,dx = \int u\,dv = u\cdot v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \frac{\ln(2x)}{x^{2}}\,dx = \ln(2x)\cdot\left(-\frac{1}{x}\right) - \int \left(-\frac{1}{x}\right)\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando os sinais e fatores:
\int \frac{\ln(2x)}{x^{2}}\,dx = -\frac{\ln(2x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}}\,dx.

Passo 6

Calcular a integral restante \displaystyle\int \frac{1}{x^{2}}\,dx. Já vimos que é -\dfrac{1}{x}. Então
\int \frac{\ln(2x)}{x^{2}}\,dx = -\frac{\ln(2x)}{x} -\frac{1}{x} + C.
Podemos fatorar -\dfrac{1}{x} para ficar mais compacto:
\int \frac{\ln(2x)}{x^{2}}\,dx = -\frac{\ln(2x)+1}{x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Verificação rápida (checape): derivando a resposta para confirmar que recuperamos o integrando.
Tomando F(x)=-\dfrac{\ln(2x)+1}{x}, calcular F'(x).
Usar quociente ou produto: F(x) = -(\ln(2x)+1)\cdot x^{-1}.
Derivando,
F'(x) = -\bigg[(\ln(2x)+1)'\cdot x^{-1} + (\ln(2x)+1)\cdot (x^{-1})'\bigg].
Agora (\ln(2x)+1)' = \dfrac{1}{x} e (x^{-1})' = -x^{-2}. Portanto
F'(x) = -\left[\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x} + (\ln(2x)+1)\cdot(-x^{-2})\right] = -\left(\frac{1}{x^{2}} -\frac{\ln(2x)+1}{x^{2}}\right) = -\frac{1 -(\ln(2x)+1)}{x^{2}} = -\frac{-\ln(2x)}{x^{2}} = \frac{\ln(2x)}{x^{2}},
como desejado. A verificação confirma que a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{\ln(2x)+1}{x}+C