(2.0) O método de integração por partes é uma técnica de cálculo integral utilizada para resolver integrais que envolvem o produto de duas funções. Muitas vezes, essas integrais não podem ser resolvidas diretamente por métodos simples, como a substituição, tornando necessário o uso de uma estratégia mais elaborada. A fórmula da integração por partes, dada a seguir, é baseada na regra do produto da derivada,
Calcule a integral utilizando o método integração por partes:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Para prosseguir vou interpretar a notação
como
(essa é a leitura usual quando se quer aplicar integração por partes nessa forma). O que se pede, portanto, é encontrar uma primitiva de
.
Passo 2
Relembrando a fórmula da integração por partes, que vem da regra do produto da derivada: para duas funções
e
,
Aqui
é a derivada de
multiplicada por
(ou seja
) e
é uma primitiva de
(ou seja
). A ideia é escolher
e
de modo que
seja mais simples que
e que
seja fácil de obter.
Passo 3
Escolha das parcelas para integração por partes. Uma escolha natural é:
porque a derivada de
simplifica bastante (vai virar
) e
é fácil de integrar.
Passo 4
Calcular
e
.
Derivada de
: aplicar a regra da cadeia.
portanto
Agora obter
como primitiva de
:
Passo 5
Aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando os sinais e fatores:
Passo 6
Calcular a integral restante
. Já vimos que é
. Então
Podemos fatorar
para ficar mais compacto:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Verificação rápida (checape): derivando a resposta para confirmar que recuperamos o integrando.
Tomando
, calcular
.
Usar quociente ou produto:
.
Derivando,
Derivando,
Agora
e
. Portanto
como desejado. A verificação confirma que a primitiva está correta.