1. Uma mistura de 40 \% de benzeno e 60 \% de tolueno está sendo destilada em um único estágio em um tambor flash a uma vazão de alimentação de 10 \mathrm{kmol} / \mathrm{h} e a uma pressão total de 1 atm . A mistura líquida produzida não deve conter mais do que 30 \% \mathrm{em} \mathrm{mol} de benzeno. Calcule as vazões e composições dos produtos de topo e de fundo e a temperatura no tambor flash. A volatilidade relativa do benzeno na mistura é de 2,5 .

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • Vazão de alimentação: \,F=10\\ \mathrm{kmol/h}.
  • Composição da alimentação em benzeno: \,z_F=40\% em mol, isto é \,z_F=0{,}40.
  • Pressão total no tambor: \,P=1\\ \mathrm{atm}.
  • Exigência sobre o líquido produzido (produto de fundo): não deve conter mais do que \,30\% em mol de benzeno. Vou tomar isso como equality de projeto (ou seja, projetar para o máximo permitido): \,x_B=30\% em mol =0{,}30.
  • Volatilidade relativa do benzeno em relação ao tolueno: \,\alpha=2{,}5.
O enunciado pede:
  • As vazões (molar) e composições dos produtos de topo e de fundo (ou seja, vazão e fração molar de benzeno no topo e no fundo).
  • A temperatura no tambor flash.

Passo 2

Escolha do método e equações básicas (explicação didática e passo a passo).
O que acontece num tambor flash (explicação simples): uma alimentação entra, se estabelece equilíbrio vapor–líquido e saem duas correntes em fase distinta: vapor de topo (V) e líquido de fundo (L). Aplicamos:
  • Balanço total de matéria:
F = V + L.
  • Balanço de componente (benzeno, componente 1):
F z_F = V y + L x,
onde x é a fração molar de benzeno na fase líquida coexitente e y a fração molar de benzeno na fase vapor coexitente.
Explicando o termo “volatilidade relativa” e a relação de equilíbrio que usaremos:
  • Para misturas idealizadas e quando se pode assumir uma volatilidade relativa constante \alpha entre dois componentes (benzeno = 1 e tolueno = 2), a relação de equilíbrio entre y e x pode ser escrita como
y = \frac{\alpha\, x}{1 + (\alpha - 1)\, x}.
Breve motivo: se K_i for K_i = \dfrac{y_i}{x_i} (coeficiente de equilíbrio), então \alpha = \dfrac{K_1}{K_2}. Com dois componentes e y_1+y_2=1, x_1+x_2=1, manipula-se para obter a forma acima. Essa fórmula é muito prática porque, dado \alpha e x, dá direto o y correspondente.
Variáveis que vou usar e seus significados:
  • \,F: vazão de alimentação (kmol/h).
  • \,z_F: fração molar de benzeno na alimentação.
  • \,V: vazão molar do vapor de topo (kmol/h).
  • \,y: fração molar de benzeno na fase vapor (produto de topo).
  • \,L: vazão molar do líquido de fundo (kmol/h).
  • \,x: fração molar de benzeno no líquido de fundo.
Observação prática: como o enunciado impõe que o líquido de fundo NÃO deva conter mais que 30\% de benzeno, escolhemos o caso limite (projeto típico) x_B=0{,}30. Assim podemos usar a relação de equilíbrio para obter y e então os balanços para achar V e L.

Passo 3

Calcular a composição do vapor de topo usando a relação de equilíbrio com \,x_B=0{,}30 e \,\alpha=2{,}5.
Usamos:
y = \frac{\alpha\, x}{1 + (\alpha - 1)\, x}.
Substituindo \alpha=2{,}5 e x=0{,}30:
y = \frac{2{,}5\times 0{,}30}{1 + (2{,}5-1)\times 0{,}30} = \frac{0{,}75}{1 + 1{,}5\times 0{,}30} = \frac{0{,}75}{1 + 0{,}45} = \frac{0{,}75}{1{,}45}.
Simplificando a fração:
\frac{0{,}75}{1{,}45}=\frac{75}{145}=\frac{15}{29}\approx 0{,}51724.
Portanto, a fração molar de benzeno no vapor de topo (antes de qualquer condensador) é
y_D = \frac{15}{29}\approx 0{,}5172\quad(\text{ou }51{,}72\%).

Passo 4

Aplicar os balanços de matéria para obter as vazões V e L.
Começo pelo balanço global e pelo balanço de componente já apresentados. Eliminando L usando L=F-V e re-arranjando o balanço de benzeno, obtemos uma fórmula prática para V:
F z_F = V y + (F-V) x_B \quad\Rightarrow\quad F z_F = F x_B + V(y - x_B).
Isolando V:
V = \frac{F\,(z_F - x_B)}{y - x_B}.
Substituindo os valores numéricos (todos em frações molares e \,F=10\\ \mathrm{kmol/h}):
V = \frac{10\cdot(0{,}40 - 0{,}30)}{0{,}517241379 - 0{,}30} = \frac{10\cdot 0{,}10}{0{,}217241379}.
É mais elegante usar a forma fracionária exata que obtivemos:
y=\frac{15}{29},\quad x_B=\frac{3}{10},\quad z_F=\frac{2}{5}.
Então
V = 10\cdot\frac{\frac{2}{5}-\frac{3}{10}}{\frac{15}{29}-\frac{3}{10}} =10\cdot\frac{\frac{1}{10}}{\frac{63}{290}}=\frac{10}{1}\cdot\frac{290}{630}=\frac{290}{63}.
Numericamente:
V=\frac{290}{63}\approx 4{,}60317\\ \mathrm{kmol/h}.
A vazão de líquido de fundo é
L = F - V = 10 - \frac{290}{63} = \frac{340}{63}\approx 5{,}39683\\ \mathrm{kmol/h}.

Passo 5

Verificação de consistência (balanço de componente) e apresentação das composições em porcentagens.
Cálculo da taxa molar de benzeno nas saídas:
  • Benzeno no vapor de topo: V\,y = \dfrac{290}{63}\cdot\dfrac{15}{29}=\dfrac{150}{63}=\dfrac{50}{21}\approx 2{,}38095\\ \mathrm{kmol/h}.
  • Benzeno no líquido de fundo: L\,x_B = \dfrac{340}{63}\cdot\dfrac{3}{10}=\dfrac{1020}{630}=\dfrac{34}{21}\approx 1{,}61905\\ \mathrm{kmol/h}.
Soma = 2{,}38095+1{,}61905=4{,}0000\\ \mathrm{kmol/h}, que é exatamente o benzeno na alimentação F z_F = 10\cdot 0{,}40=4\\ \mathrm{kmol/h}. Balanço confirmado.
Expressando frações molares como porcentagens:
  • Topo: y_D\approx 0{,}51724 = 51{,}72\% benzeno.
  • Fundo: x_B=0{,}30 = 30{,}00\% benzeno (condição do problema).

Passo 6

Cálculo da temperatura no tambor flash (explicação e solução numérica).
Raciocínio físico: a volatilidade relativa \alpha pode ser escrita, sob hipótese de comportamento ideal e Raoult, como razão entre pressões de vapor dos puros no equilíbrio:
\alpha = \frac{K_1}{K_2} = \frac{P_1^{\text{sat}}}{P_2^{\text{sat}}},
onde P_i^{\text{sat}}(T) é a pressão de vapor do componente puro i à temperatura T. Aqui temos \alpha=2{,}5 e a pressão total é 1\\ \mathrm{atm} (a unidade não importa para a razão). Assim precisamos achar T tal que
\frac{P_{\text{benzeno}}^{\text{sat}}(T)}{P_{\text{tolueno}}^{\text{sat}}(T)} = 2{,}5.
Para obter P^{\text{sat}}(T) podemos usar a equação de Antoine (forma comum). A forma usada é
\log_{10} P^{\text{sat}} = A - \frac{B}{T + C},
onde P^{\text{sat}} fica em mmHg se as constantes A,B,C estiverem na tabela correspondente. Constantes (valores tabulados, uso comum em problemas):
  • Para o benzeno: A=6{,}90565,\\ B=1211{,}033,\\ C=220{,}790.
  • Para o tolueno: A=6{,}95464,\\ B=1344{,}800,\\ C=219{,}480.
Essas constantes são válidas no intervalo de temperatura de interesse (alguns tens de °C). Como estamos resolvendo a razão, as unidades de P^{\text{sat}} cancelam.
Escrevendo a condição em termos dos logaritmos:
\big(A_{\text{ben}} - \frac{B_{\text{ben}}}{T+C_{\text{ben}}}\big) - \big(A_{\text{tol}} - \frac{B_{\text{tol}}}{T+C_{\text{tol}}}\big) = \log_{10}(2{,}5).
Substituindo os números e resolvendo numericamente (procura-se T em °C):
definindo a função
f(T) = -0{,}44693 - \frac{1211{,}033}{T+220{,}79} + \frac{1344{,}8}{T+219{,}48},
onde o termo -0{,}44693 vem de A_{\text{ben}}-A_{\text{tol}}-\log_{10}(2{,}5). A raiz de f(T)=0 dá a temperatura buscada.
Resolvendo por tentativa/iteração (método numérico simples): avaliando f(T) entre as temperaturas típicas de ebulição de benzeno e tolueno, encontra-se que
T \approx 90{,}8\\ ^\circ\mathrm{C}
satisfaz a equação dentro de tolerância numérica pequena.
Em outras palavras: a razão de pressões de vapor dos puros é 2{,}5 à aproximadamente \,90{,}8^\circ\mathrm{C}, portanto essa é a temperatura de equilíbrio no tambor flash (pressão total 1\\ \mathrm{atm}).
Observação: a temperatura foi obtida usando constantes de Antoine tabuladas (procedimento padrão). Se em prova o enunciado disponibilizar uma tabela diferente, usar os valores dessa tabela.

Passo 7

Resumo final (números prontos para conferir rapidamente):
  • Vazão do produto de topo (fase vapor saída do tambor): \,V=\dfrac{290}{63}\approx 4{,}6032\\ \mathrm{kmol/h}.
  • Composição do produto de topo (fração molar de benzeno): \,y_D=\dfrac{15}{29}\approx 0{,}51724 (isto é 51{,}72\% em mol).
  • Vazão do produto de fundo (líquido): \,L=\dfrac{340}{63}\approx 5{,}3968\\ \mathrm{kmol/h}.
  • Composição do produto de fundo (fração molar de benzeno): \,x_B=0{,}30 (condição dada, 30{,}00\% em mol).
  • Temperatura no tambor flash: \,T\approx 90{,}8^\circ\mathrm{C}.
Você está indo bem — esses são os cálculos padrão para um flash de estágio único com volatilidade relativa constante. Se quiser, eu faço agora o mesmo com outras condições (por exemplo se o líquido de fundo tivesse de ser 25\% ou se a corrente de topo for condensada totalmente e for recolhida como um destilado líquido) para treinar. 😃

Resposta

Vapor de topo: V\approx 4{,}60317\\ \mathrm{kmol/h}, composição benzeno y_D\approx 0{,}51724 (51,72%).
Líquido de fundo: L\approx 5{,}39683\\ \mathrm{kmol/h}, composição benzeno x_B=0{,}30 (30,00%).
Temperatura no tambor flash: T\approx 90{,}8^\circ\mathrm{C}.

Exercícios relacionados