Para o mesmo modelo anterior, considere que o veículo está se movendo em uma via que possui um comprimento de onda (distância entre picos) de 20 metros e amplitude de 0,08 metros. Para um amortecimento estimado em c_{s}=332[\mathrm{Ns} / \mathrm{m}], determine a amplitude da resposta estacionária do carro ( X_{s} ) se a velocidade do veículo for:
(a) 30[\mathrm{~km} / \mathrm{h}];

Passo 1

O enunciado pede para determinar a amplitude da resposta estacionária do carro X_{s} quando o veículo passa por uma superfície senoidal com as seguintes informações dadas:
\text{comprimento de onda: }\lambda=20\\ \mathrm{m},
\text{amplitude da estrada: }Y=0,08\\ \mathrm{m},
\text{amortecimento do conjunto: }c_{s}=332\\ \mathrm{Ns/m},
\text{velocidade do veículo: }v=30\\ \mathrm{km/h}.í
Pergunta solicitada: determinar a amplitude da resposta estacionária do carro X_{s} para a velocidade acima.
Informações relevantes que estão faltando (necessárias para um cálculo numérico): massa do veículo associada ao grau de liberdade considerado (por exemplo, massa equivalente do eixo dianteiro/traseiro ou massa por quarto do veículo) m e rigidez da suspensão k (ou, alternativamente, a frequência natural \omega_n e a razão de amortecimento \zeta). Sem esses parâmetros não é possível obter um valor numérico único para X_{s}. A resolução seguirá mostrando a teoria, a fórmula final e como calcular numericamente caso você tenha m e k (ou \omega_n e \zeta).

Passo 2

Calcular a frequência de excitação \omega gerada pela estrada senoidal quando o veículo passa a velocidade dada.
Primeiro convertemos a velocidade para \mathrm{m/s}:
v = 30\\ \mathrm{km/h} = 30\cdot\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s}=8,333\\ \mathrm{m/s}.
A frequência de passagem de picos (frequência em Hz) é dada por
f=\frac{v}{\lambda}.
Substituindo,
f=\frac{8,333}{20}=0,41667\\ \mathrm{Hz}.
A pulsação (frequência angular) é
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 0,41667 \approx 2,61799\\ \mathrm{rad/s}.
(Guarde \omega\approx 2,61799\\ \mathrm{rad/s}; usaremos esse valor na fórmula.)

Passo 3

Modelagem física e equação do movimento (explicação didática).
Considere o modelo SDOF (um grau de liberdade) para o carro sujeito à excitação de base (a estrada). Seja x(t) o deslocamento absoluto da massa m (carro), e y(t) o deslocamento da base (estrada). A suspensão tem amortecimento c (aqui c=c_s) e rigidez k. A equação de movimento, obtida por balanço de forças, é:
m\ddot{x}+c(\dot{x}-\dot{y})+k(x-y)=0.
Essa forma diz: massa vezes aceleração + força de amortecimento relativa + força da mola relativa = zero. Reorganizando para ter termos em x no lado esquerdo:
m\ddot{x}+c\dot{x}+k x = c\dot{y}+k y.
Para excitação senoidal da estrada, escolhemos
y(t)=Y\sin(\omega t),
onde Y é a amplitude da estrada (aqui Y=0,08\\ \mathrm{m}) e \omega a pulsação calculada no passo anterior.
Procuramos a resposta estacionária em regime forçado para x(t) na forma senoidal: x(t)=X\sin(\omega t+\varphi). A maneira mais prática é usar números complexos (representação fasorial) e obter a função de transferência entre entrada (base) e saída (massa).

Passo 4

Derivação da relação de amplitude (transferência) entre a base e a massa.
Aplicando a análise fasorial (representando \sin(\omega t) por e^{i\omega t} e trabalhando com coeficientes complexos), obtemos a função de transferência complexa entre o deslocamento da base Y e o deslocamento absoluto da massa X:
H(i\omega)=\frac{X}{Y}=\frac{k+i c\omega}{k-m\omega^{2}+i c\omega}.
Explicação intuitiva: o numerador (k+i c\omega) vem do lado direito da equação (força aplicada pela base), o denominador (k-m\omega^2+i c\omega) é a impedância dinâmica do sistema massa-mola-amortecedor.
A razão de amplitudes (módulo da função de transferência) é então
\left|H(i\omega)\right|=\frac{\sqrt{k^{2}+(c\omega)^{2}}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}}}.
Portanto a amplitude estacionária absoluta X_{s} (amplitude de x(t)) é
X_{s}=Y\cdot\left|H(i\omega)\right|=Y\cdot\frac{\sqrt{k^{2}+(c\omega)^{2}}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}}}.
Aqui:
  • Y é amplitude da estrada ( 0,08\\ \mathrm{m});
  • c é o amortecimento ( 332\\ \mathrm{Ns/m});
  • m é a massa equivalente (faltando no enunciado);
  • k é a rigidez da suspensão (faltando no enunciado);
  • \omega é a pulsação de excitação ( \approx 2,61799\\ \mathrm{rad/s}).

Passo 5

Forma alternativa (muito prática para provas): expressar a razão em termos da frequência natural \omega_n e da razão de amortecimento \zeta.
Defina a frequência natural
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}},
e a razão de amortecimento
\zeta=\frac{c}{2m\omega_n}.
Defina também a razão entre frequências
r=\frac{\omega}{\omega_n}.
Ao substituir k=m\omega_n^2 e c=2m\zeta\omega_n na expressão de \left|H\right| e simplificar por m\omega_n^2, obtemos a forma adimensional:
\left|H(i\omega)\right|=\frac{\sqrt{1+(2\zeta r)^{2}}}{\sqrt{(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}.
Assim
X_{s}=Y\cdot\frac{\sqrt{1+(2\zeta r)^{2}}}{\sqrt{(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}.
Essa forma é muito útil porque, conhecendo apenas \omega_n e \zeta (parâmetros frequentemente fornecidos para suspensões), você consegue calcular X_s sem precisar de m e k separadamente. Lembre-se que r=\omega/\omega_n e já temos \omega do passo 2.

Passo 6

Aplicação numérica parcial com os valores conhecidos e conclusão sobre o que falta.
Temos os valores numéricos conhecidos:
Y=0,08\\ \mathrm{m},\quad c=332\\ \mathrm{Ns/m},\quad \omega\approx 2,61799\\ \mathrm{rad/s}.
A expressão numérica direta, deixando m e k simbólicos, é
X_{s}=0,08\cdot\frac{\sqrt{k^{2}+(332\cdot 2,61799)^{2}}}{\sqrt{(k-m\cdot 2,61799^{2})^{2}+(332\cdot 2,61799)^{2}}}.
Sem valores numéricos para m e k (ou para \omega_n e \zeta) não há como simplificar isso para um número único. Portanto o procedimento correto na prova será:
  • calcular \omega como no Passo 2;
  • usar a fórmula do Passo 4 (ou a forma adimensional do Passo 5) e inserir os valores de m e k (ou \omega_n e \zeta) fornecidos no enunciado para obter X_s.
Se você me der m e k (ou \omega_n e \zeta), eu faço o cálculo numérico completo e explico passo a passo com números. Força aí — isso vai ficar claro rapidinho!

Resposta

Não é possível determinar numericamente X_{s} pois faltam m e k (ou \omega_n e \zeta). A expressão geral é:
X_{s}=0,08\cdot\frac{\sqrt{k^{2}+(332\cdot 2,61799)^{2}}}{\sqrt{(k-m\cdot 2,61799^{2})^{2}+(332\cdot 2,61799)^{2}}}.

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