Para o mesmo problema anterior, escreva a equação característica para o caso em que m_{1}=9[\mathrm{~kg}], m_{2}=3[\mathrm{~kg}], k_{1}=24[\mathrm{~N} / \mathrm{m}], k_{2}=3[\mathrm{~N} / \mathrm{m}], k_{3}=4[\mathrm{~N} / \mathrm{m}], c_{1}=0[\mathrm{Ns} / \mathrm{m}], c_{2}=0[\mathrm{Ns} / \mathrm{m}] e c_{3}=0[\mathrm{Ns} / \mathrm{m}]. Também, determine as frequências naturais do sistema.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) escrever a equação característica do sistema para os valores numéricos dados e (2) determinar as frequências naturais do sistema.
Dados fornecidos: m_{1}=9\\ \mathrm{kg}, m_{2}=3\\ \mathrm{kg}, k_{1}=24\\ \mathrm{N/m}, k_{2}=3\\ \mathrm{N/m}, k_{3}=4\\ \mathrm{N/m}, c_{1}=0, c_{2}=0, c_{3}=0.
Observação importante (assunção necessária para resolver): vou considerar o arranjo padrão de dois graus de liberdade em que m_{1} está presa ao solo por k_{1}, as duas massas estão ligadas entre si por k_{2} e m_{2} está presa ao solo por k_{3}. Se o seu problema anterior tiver outra geometria, me avise; aqui sigo essa configuração porque é a mais comum.

Passo 2

Modelo matemático e significado das matrizes. Para vibração livre sem amortecimento a equação no tempo é
M\ddot{x}+Kx=0.
Explicando: M é a matriz de massas (uma matriz diagonal com as massas), K é a matriz de rigidez que reúne os k-s. Procuramos soluções harmônicas do tipo x(t)=X\cos(\omega t) (ou X e^{\mathrm{i}\omega t}), onde \omega é a frequência angular e X o vetor de amplitude. Substituindo isso na equação obtém-se o problema de autovalores
\bigl(K-\omega^{2}M\bigr)X=0,
que admite solução não nula X somente se
\det\bigl(K-\omega^{2}M\bigr)=0.
Essa é a equação característica que vamos montar e resolver. Aqui \omega tem unidades de \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Construção das matrizes M e K para a configuração assumida. A matriz de massas é diagonal:
M=\begin{pmatrix}m_{1} & 0\\[4pt]0 & m_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}9 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}.
A matriz de rigidez para o sistema com mola à massa 1 para o chão, mola entre massas e mola da massa 2 para o chão é
K=\begin{pmatrix}k_{1}+k_{2} & -k_{2}\\[4pt]-k_{2} & k_{2}+k_{3}\end{pmatrix}.
Substituindo os valores dados (peguei os valores dos k do enunciado):
K=\begin{pmatrix}24+3 & -3\\[4pt]-3 & 3+4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}27 & -3\\[4pt]-3 & 7\end{pmatrix}.]

Passo 4

Escrevendo a condição de autovalor \det(K-\omega^{2}M)=0. Primeiro montamos a matriz K-\omega^{2}M:
K-\omega^{2}M =\begin{pmatrix}27-9\omega^{2} & -3\\[4pt]-3 & 7-3\omega^{2}\end{pmatrix}.
Agora calculamos o determinante e o igualamos a zero (cada passo aritmético será mostrado):
\det\begin{pmatrix}27-9\omega^{2} & -3\\[4pt]-3 & 7-3\omega^{2}\end{pmatrix} =(27-9\omega^{2})(7-3\omega^{2})-(-3)(-3).
Multiplicando os termos:
(27-9\omega^{2})(7-3\omega^{2})=27\cdot7-27\cdot3\omega^{2}-9\omega^{2}\cdot7+9\cdot3\omega^{4}.
Calculando cada produto numérico:
27\cdot7=189,\quad 27\cdot3=81,\quad 9\cdot7=63,\quad 9\cdot3=27.
Portanto
(27-9\omega^{2})(7-3\omega^{2})=189-(81+63)\omega^{2}+27\omega^{4}=189-144\omega^{2}+27\omega^{4}.
Subtraindo (-3)(-3)=9 do resultado:
189-144\omega^{2}+27\omega^{4}-9=180-144\omega^{2}+27\omega^{4}.
Assim a equação característica é
27\omega^{4}-144\omega^{2}+180=0.
Para simplificar, dividimos por 9 (fator comum) e obtemos a forma reduzida
3\omega^{4}-16\omega^{2}+20=0.]

Passo 5

Resolvendo a equação para obter \omega. É conveniente fazer a mudança \lambda=\omega^{2} para transformar em quadrática:
3\lambda^{2}-16\lambda+20=0,\qquad \lambda=\omega^{2}.
Agora usamos fórmula de Bhaskara para \lambda:
\lambda=\frac{16\pm\sqrt{(-16)^{2}-4\cdot3\cdot20}}{2\cdot3} =\frac{16\pm\sqrt{256-240}}{6} =\frac{16\pm\sqrt{16}}{6}.
Como \sqrt{16}=4, as raízes são
\lambda_{1}=\frac{16+4}{6}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3},\qquad \lambda_{2}=\frac{16-4}{6}=\frac{12}{6}=2.
Lembrando que \lambda=\omega^{2}, temos as frequências angulares:
\omega_{1}=\sqrt{\frac{10}{3}},\qquad \omega_{2}=\sqrt{2}.
Valores numéricos aproximados (em \mathrm{rad/s}):
\omega_{1}\approx1,82574\\ \mathrm{rad/s},\qquad \omega_{2}\approx1,41421\\ \mathrm{rad/s}.

Resposta

\displaystyle \det\begin{pmatrix}27-9\omega^{2} & -3\\[4pt]-3 & 7-3\omega^{2}\end{pmatrix}=0, que reduz para \displaystyle 3\omega^{4}-16\omega^{2}+20=0.\n
\displaystyle \omega_{1}=\sqrt{\tfrac{10}{3}}\\ \mathrm{rad/s}\approx1,82574\\ \mathrm{rad/s},\quad \omega_{2}=\sqrt{2}\\ \mathrm{rad/s}\approx1,41421\\ \mathrm{rad/s}.]

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