Para o mesmo problema anterior, escreva a equação característica para o caso em que
,
e
. Também, determine as frequências naturais do sistema.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) escrever a equação característica do sistema para os valores numéricos dados e (2) determinar as frequências naturais do sistema.
Dados fornecidos: ,
,
,
,
,
,
,
.
Observação importante (assunção necessária para resolver): vou considerar o arranjo padrão de dois graus de liberdade em que está presa ao solo por
, as duas massas estão ligadas entre si por
e
está presa ao solo por
. Se o seu problema anterior tiver outra geometria, me avise; aqui sigo essa configuração porque é a mais comum.
Dados fornecidos:
Observação importante (assunção necessária para resolver): vou considerar o arranjo padrão de dois graus de liberdade em que
Passo 2
Modelo matemático e significado das matrizes. Para vibração livre sem amortecimento a equação no tempo é
Explicando:
é a matriz de massas (uma matriz diagonal com as massas),
é a matriz de rigidez que reúne os
-s. Procuramos soluções harmônicas do tipo
(ou
), onde
é a frequência angular e
o vetor de amplitude. Substituindo isso na equação obtém-se o problema de autovalores
que admite solução não nula
somente se
Essa é a equação característica que vamos montar e resolver. Aqui
tem unidades de
.
Passo 3
Construção das matrizes
e
para a configuração assumida. A matriz de massas é diagonal:
A matriz de rigidez para o sistema com mola à massa 1 para o chão, mola entre massas e mola da massa 2 para o chão é
Substituindo os valores dados (peguei os valores dos k do enunciado):
Passo 4
Escrevendo a condição de autovalor
. Primeiro montamos a matriz
:
Agora calculamos o determinante e o igualamos a zero (cada passo aritmético será mostrado):
Multiplicando os termos:
Calculando cada produto numérico:
Portanto
Subtraindo
do resultado:
Assim a equação característica é
Para simplificar, dividimos por
(fator comum) e obtemos a forma reduzida
Passo 5
Resolvendo a equação para obter
. É conveniente fazer a mudança
para transformar em quadrática:
Agora usamos fórmula de Bhaskara para
:
Como
, as raízes são
Lembrando que
, temos as frequências angulares:
Valores numéricos aproximados (em
):