O modelo em espaço de estados de um submarino é:
Determine se o sistema é estável.

Passo 1

Beleza, então o enunciado nos dá um sistema em espaço de estados de um submarino com a matriz
A = 0 & 1 & 0 -0,0071 & -0,111 & 0,12 0 & 0,07 & -0,3
e pergunta se o sistema é estável.
Conteúdo: teoria de estabilidade de sistemas lineares, que diz que nosso sistema é estável se todos os autovalores de tiverem parte real negativa. Para isso, vamos precisar montar o polinômio característico e usar o critério de Routh–Hurwitz para verificar o sinal das raízes.

Passo 2

Primeiro, definimos o polinômio característico:
det(sI - A) = 0 Longrightarrow det s & -1 & 0 0,0071 & s + 0,111 & -0,12 0 & -0,07 & s + 0,3 = 0
Isso nos dá um polinômio cúbico da forma
s^3 + a2 s^2 + a1 s + a0 = 0,
onde vamos identificar , e .

Passo 3

Calculando o determinante:
  1. Expande pela primeira linha:
sl[(s+0,111)(s+0,3) - (-0,12)(-0,07)r] +1l[0,0071(s+0,3)r] = 0
  1. Fazendo as contas:
(s+0.111)(s+0.3) = s^2 + 0.411s + 0.0333, (-0.12)(-0.07) = 0.0084,
Rightarrow sl(s^2 + 0.411s + 0.0333 - 0.0084r) +0.0071s + 0.00213 = 0
  1. Logo o polinômio é
s^3 + 0.411,s^2 + 0.032,s + 0.00213 = 0

Passo 4

Agora, vamos usar o critério de Routh–Hurwitz para ver se todos os pólos têm parte real negativa. Montamos a primeira coluna da tabela de Routh:
Tabela de Routh:
c|cc s^3 & 1 & 0.032 [6pt] s^2 & 0.411 & 0.00213 [6pt] s^1 & dfrac0.411cdot0.032 - 1cdot0.002130.411 & 0 [10pt] s^0 & 0.00213 &
Calculando o elemento dfrac0.411cdot0.032 - 0.002130.411 = dfrac0.013152 - 0.002130.411 approx 0.0268 :
1, 0.411, 0.0268, 0.00213
A primeira coluna fica:
Todos os termos são positivos, então pelo critério de Routh–Hurwitz o sistema é assintoticamente estável.

Resposta

O sistema é estável (todos os autovalores de têm parte real negativa).

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