Seja , determine se o sistema é estável ou não.

Passo 1

Beleza, o problema diz: “Dado
A = 1 & 0 & 0 -1 & -2 & 0 0 & 0 & -3 ,
determine se o sistema é estável ou não.”
Isso faz parte da disciplina de sistemas lineares/autônomos e exige saber como usar autovalores para julgar estabilidade (precisamos que todos tenham parte real negativa).

Passo 2

Teoria que vamos usar:
Para o sistema , os autovalores de determinam a estabilidade:
  • Se todo , o sistema é assintoticamente estável.
  • Se algum , é instável.
  • Se nenhum for >0 e algum , é marginalmente estável (mas não é o nosso caso aqui).

Passo 3

Como det(A - lambda I) = (1-lambda)(-2-lambda)(-3-lambda)=0 é matriz triangular, seus autovalores são simplesmente os elementos da diagonal.
Logo, resolvendo
lambda1 = 1, lambda2 = -2, lambda3 = -3
vemos que

Passo 4

Agora, olha as partes reais:
. Já deu: um autovalor positivo basta para declarar o sistema instável.

Resposta

O sistema é instável.

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