O módulo de um número [x \in \mathbb{R}) é definido como
|x|= \begin{cases}x, & \text { se } x \geq 0 \\\\ -x, & \text { se } x<0\end{cases}
Dessa forma, o módulo de um número positivo é ele mesmo; enquanto que o módulo de um número negativo é seu oposto. A distância entre dois números x, y \in \mathbb{R}\] é definida como \(d(x, y)=|x-y|.
|3 x-1| \geq 7

Passo 1

O enunciado dá a definição do módulo (valor absoluto) e pede para resolver a desigualdade
|3x-1| \geq 7
ou seja, encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade básica e muito útil de módulo para desigualdades do tipo |A|\ge b com b\ge 0:
|A|\ge b \quad\Longleftrightarrow\quad A\ge b \\ \text{ou}\\ A\le -b.
Explicando por que isso vale: se A\ge 0 então |A|=A e a condição |A|\ge b vira A\ge b. Se A<0 então |A|=-A e |A|\ge b vira -A\ge b, que é equivalente a A\le -b. Assim cobrimos os dois casos e obtemos a equivalência.

Passo 3

Aplicando essa propriedade com A=3x-1 e b=7, obtemos as duas desigualdades equivalentes:
3x-1 \ge 7 \quad\text{ou}\quad 3x-1 \le -7.

Passo 4

Resolver a primeira desigualdade 3x-1\ge 7. Somando 1 aos dois lados:
3x \ge 8.
Agora dividindo por 3 (positivo, então o sentido da desigualdade não muda):
x \ge \frac{8}{3}.

Passo 5

Resolver a segunda desigualdade 3x-1\le -7. Somando 1 aos dois lados:
3x \le -6.
Dividindo por 3:
x \le -2.

Passo 6

As soluções das duas desigualdades são x\le -2 e x\ge \dfrac{8}{3}. Como a condição original é a união (“ou”), a solução final é a união desses dois conjuntos:
(-\infty,-2] \cup \left[\frac{8}{3},\infty\right).

Passo 7

Um método alternativo (útil para entender geometricamente) é fatorar o 3 dentro do módulo:
|3x-1| = 3\left|x-\tfrac{1}{3}\right|.
Então a desigualdade |3x-1|\ge 7 é equivalente a
3\left|x-\tfrac{1}{3}\right| \ge 7 \quad\Longleftrightarrow\quad \left|x-\tfrac{1}{3}\right| \ge \frac{7}{3}.
Aplicando a mesma regra de módulo, isso dá
x-\tfrac{1}{3} \ge \tfrac{7}{3}\quad\text{ou}\quad x-\tfrac{1}{3} \le -\tfrac{7}{3},
que levam, respectivamente, a x\ge \tfrac{8}{3} e x\le -2, exatamente o que já obtivemos.

Passo 8

Verificação rápida com pontos-teste:
  • Para x=-3: 3x-1= -10, |-10|=10\ge 7 (satisfeita).
  • Para x=0: 3x-1=-1, |-1|=1<7 (não satisfaz).
  • Para x=3: 3x-1=8, |8|=8\ge7 (satisfeita).
    Esses testes batem com a solução encontrada.

Resposta

\displaystyle (-\infty,-2]\cup\left[\frac{8}{3},\infty\right)