Uma moeda é lançada três vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos:
a. duas caras e uma coroa?
b. pelo menos duas caras?
a. duas caras e uma coroa?
b. pelo menos duas caras?
Passo 1
O enunciado diz: uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente. Precisamos calcular duas probabilidades:
(a) a probabilidade de observar exatamente duas caras e uma coroa;
(b) a probabilidade de observar pelo menos duas caras (ou seja, duas ou três caras).
Informações relevantes dadas ou que assumimos (enunciado considerado adequadamente formulado):
Todas as jogadas são idênticas e independentes (o resultado de uma jogada não afeta a outra).
Cada jogada tem duas possibilidades:
ou
.
Não foi dito o contrário, então assumimos uma moeda justa: a probabilidade de
em cada lançamento é
e a de
é
.
Precisaremos contar quantos resultados possíveis (sequências de três lançamentos) existem e quantos deles satisfazem cada evento pedido.
(a) a probabilidade de observar exatamente duas caras e uma coroa;
(b) a probabilidade de observar pelo menos duas caras (ou seja, duas ou três caras).
Informações relevantes dadas ou que assumimos (enunciado considerado adequadamente formulado):
Passo 2
Modelo e ideia básica: quando todos os resultados elementares são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
Aqui, cada lançamento tem
resultados; com
lançamentos independentes o número total de sequências possíveis é
Vou enumerar mentalmente (e mostrarei quando precisar) essas
sequências para ficar claro que cada uma tem probabilidade
.
Passo 3
Contagem combinatória (fórmula que vamos usar): o número de maneiras de escolher
posições favoráveis entre
posições é dado pelo coeficiente binomial
onde
(fatorial de
) é
. Exemplo:
.
No nosso problema, para contar quantas sequências têm exatamente caras em
lançamentos usamos
. Cada sequência específica tem probabilidade
(produto das probabilidades por independência).
No nosso problema, para contar quantas sequências têm exatamente
Passo 4
Queremos exatamente duas caras e uma coroa. Isso é escolher quais
das
posições serão caras, ou seja
Calculemos:
As três sequências podem ser escritas explicitamente (peguei estes resultados listando as posições):
. Cada uma tem probabilidade
, portanto a probabilidade pedida é
Passo 5
“Pelo menos duas caras” significa “duas caras ou três caras”. Podemos somar as probabilidades de “exatamente duas” e “exatamente três”.
- Já temos
. - O número de sequências com exatamente três caras é
(a sequência ), com probabilidade .
Somando:
(Verificação alternativa por complemento: a probabilidade de ter menos que 2 caras é ter 0 ou 1 cara. Há
sequência com 0 caras e
com 1 cara, total
sequências, probabilidade
. Logo o complemento é
, mesmo resultado.)
Passo 6
Resumo do raciocínio prático para a prova: conte o total de resultados (
), use
para contar sequências com exatamente
caras, multiplique pela probabilidade de cada sequência (
) ou simplesmente divida o número de sequências favoráveis por
. Você já está com o método pronto — respira, faz devagar e aplica!
Resposta
(a)
(b)
(b)