Uma moeda é lançada três vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos:
a. duas caras e uma coroa?
b. pelo menos duas caras?

Passo 1

O enunciado diz: uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente. Precisamos calcular duas probabilidades:
(a) a probabilidade de observar exatamente duas caras e uma coroa;
(b) a probabilidade de observar pelo menos duas caras (ou seja, duas ou três caras).
Informações relevantes dadas ou que assumimos (enunciado considerado adequadamente formulado):
Todas as jogadas são idênticas e independentes (o resultado de uma jogada não afeta a outra).
Cada jogada tem duas possibilidades: \text{Cara} ou \text{Coroa}.
Não foi dito o contrário, então assumimos uma moeda justa: a probabilidade de \text{Cara} em cada lançamento é \tfrac{1}{2} e a de \text{Coroa} é \tfrac{1}{2}.
Precisaremos contar quantos resultados possíveis (sequências de três lançamentos) existem e quantos deles satisfazem cada evento pedido.

Passo 2

Modelo e ideia básica: quando todos os resultados elementares são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
P(\text{evento}) = \frac{\text{número de resultados favoráveis}}{\text{número total de resultados possíveis}}.úáúí
Aqui, cada lançamento tem 2 resultados; com 3 lançamentos independentes o número total de sequências possíveis é
2^3 = 8.
Vou enumerar mentalmente (e mostrarei quando precisar) essas 8 sequências para ficar claro que cada uma tem probabilidade \tfrac{1}{8}.

Passo 3

Contagem combinatória (fórmula que vamos usar): o número de maneiras de escolher k posições favoráveis entre n posições é dado pelo coeficiente binomial
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é n! = n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot 1. Exemplo: 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6.
No nosso problema, para contar quantas sequências têm exatamente k caras em n=3 lançamentos usamos \binom{3}{k}. Cada sequência específica tem probabilidade \left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8} (produto das probabilidades por independência).

Passo 4

Queremos exatamente duas caras e uma coroa. Isso é escolher quais 2 das 3 posições serão caras, ou seja
\text{nº de sequências favoráveis} = \binom{3}{2}.ºêá
Calculemos:
\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)\cdot1} = \frac{6}{2} = 3.
As três sequências podem ser escritas explicitamente (peguei estes resultados listando as posições): \{\text{Cara,Cara,Coroa},\\ \text{Cara,Coroa,Cara},\\ \text{Coroa,Cara,Cara}\}. Cada uma tem probabilidade \tfrac{1}{8}, portanto a probabilidade pedida é
P(\text{exatamente 2 caras}) = \frac{3}{8}.

Passo 5

“Pelo menos duas caras” significa “duas caras ou três caras”. Podemos somar as probabilidades de “exatamente duas” e “exatamente três”.
  • Já temos P(\text{exatamente 2 caras}) = \tfrac{3}{8}.
  • O número de sequências com exatamente três caras é \binom{3}{3}=1 (a sequência \{\text{Cara,Cara,Cara}\}), com probabilidade \tfrac{1}{8}.
Somando:
P(\text{pelo menos 2 caras}) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.
(Verificação alternativa por complemento: a probabilidade de ter menos que 2 caras é ter 0 ou 1 cara. Há \binom{3}{0}=1 sequência com 0 caras e \binom{3}{1}=3 com 1 cara, total 4 sequências, probabilidade \tfrac{4}{8}. Logo o complemento é 1-\tfrac{4}{8}=\tfrac{1}{2}, mesmo resultado.)

Passo 6

Resumo do raciocínio prático para a prova: conte o total de resultados ( 2^3), use \binom{n}{k} para contar sequências com exatamente k caras, multiplique pela probabilidade de cada sequência ( \left(\tfrac{1}{2}\right)^3) ou simplesmente divida o número de sequências favoráveis por 8. Você já está com o método pronto — respira, faz devagar e aplica!

Resposta

(a) \tfrac{3}{8}
(b) \tfrac{1}{2}