Um mol de cobre a 0{ }^{\circ} \mathrm{C} é colocado em contato térmico com um mol de cobre a 100^{\circ} \mathrm{C}. Considere que a capacidade térmica molar a pressão constante do cobre, como função da temperatura, é dada por:
C_{P}=22,64+6,28 \times 10^{-3} \mathrm{TJ} / \mathrm{mol} \cdot \mathrm{~K}
Assumindo que os dois mols de cobre estão encerrados dentro de paredes adiabáticas, calcule:
(a) a temperatura final no equilíbrio,
(b) a quantidade de calor transferida, e
(c) a variação da entropia.
(Problema 3.5 do Gaskell)

Passo 1

O enunciado dá dois mols de cobre encerrados em paredes adiabáticas, um a T_{1}=0{ }^{\circ}\mathrm{C}=273,15\\ \mathrm{K} e outro a T_{2}=100{ }^{\circ}\mathrm{C}=373,15\\ \mathrm{K}. A capacidade térmica molar a pressão constante varia com T segundo
C_{P}(T)=22{,}64 + 6{,}28\times10^{-3}\,T\quad\text{J\cdotmol}^{-1}\text{K}^{-1}.
Precisamos encontrar:
(a) a temperatura final de equilíbrio T_{F};
(b) a quantidade de calor trocada Q (módulo);
(c) a variação total de entropia \Delta S.

Passo 2

Pela conservação de energia (paredes adiabáticas), o calor ganho pelo corpo frio é igual ao calor cedido pelo corpo quente:
\int_{T_{1}}^{T_{F}}C_{P}(T)\,dT \;=\; \int_{T_{F}}^{T_{2}}C_{P}(T)\,dT.
Como C_{P}(T)=A + a\,T com A=22{,}64 e a=6{,}28\times10^{-3}, fazemos
\int_{T_{1}}^{T_{F}}(A + aT)\,dT \;=\; \int_{T_{F}}^{T_{2}}(A + aT)\,dT.
Isso leva a
A\,(T_{F}-T_{1}) + \tfrac{a}{2}(T_{F}^{2}-T_{1}^{2}) \;=\; A\,(T_{2}-T_{F}) + \tfrac{a}{2}(T_{2}^{2}-T_{F}^{2}).

Passo 3

Desenvolvendo e rearranjando obtemos a equação quadrática em T_{F}:
0{,}00628\,T_{F}^{2} + 45{,}28\,T_{F} - 15307{,}5 = 0.
Resolvendo,
T_{F} \approx 323{,}2\\ \mathrm{K} \quad\Longrightarrow\quad T_{F}\approx 50{,}0{ }^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 4

O calor trocado (módulo) é, por exemplo para o frio,
Q = \int_{T_{1}}^{T_{F}}(A + aT)\,dT = A\,(T_{F}-T_{1}) + \tfrac{a}{2}(T_{F}^{2}-T_{1}^{2}) \approx 1{,}23\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

A variação de entropia total é
\Delta S = \int_{T_{1}}^{T_{F}}\frac{C_{P}(T)}{T}\,dT + \int_{T_{2}}^{T_{F}}\frac{C_{P}(T)}{T}\,dT = A\Bigl[\ln\frac{T_{F}}{T_{1}}+\ln\frac{T_{F}}{T_{2}}\Bigr] + a\bigl[(T_{F}-T_{1})+(T_{F}-T_{2})\bigr].
Numérico dá
\Delta S \approx 0{,}57\\ \mathrm{J/K}.

Resposta

(a) T_{F}\approx 323{,}2\\ \mathrm{K} (ou 50{,}0{ }^{\circ}\mathrm{C}).
(b) Q\approx 1{,}23\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
(c) \Delta S\approx 0{,}57\\ \mathrm{J/K}.

Exercícios relacionados