Mostre que \left[\frac{\partial(G / T)}{\partial(1 / T)}\right]_{P}=H.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\left[\frac{\partial(G/T)}{\partial(1/T)}\right]_{P} = H,
onde G é a energia de Gibbs, H é a entalpia, T a temperatura e a derivada é tomada à pressão constante. Vamos usar a definição de entalpia
H = G + TS
e as regras de derivação (produto e cadeia) para variáveis relacionadas por x = 1/T.

Passo 2

Definimos a nova variável
x = \frac{1}{T}.
Então
\frac{G}{T} = G\cdot x.
A derivada que queremos é
\left(\frac{\partial(G/T)}{\partial x}\right)_{P} = \left(\frac{\partial (G\,x)}{\partial x}\right)_{P}.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto e obtemos
\left(\frac{\partial (G\,x)}{\partial x}\right)_{P} = G + x\left(\frac{\partial G}{\partial x}\right)_{P}.
Agora usamos a regra da cadeia para \partial G/\partial x:
\frac{\partial G}{\partial x} = \frac{\partial G}{\partial T}\,\frac{dT}{dx}.
Como x=1/T, temos dT/dx=-1/x^{2}. Além disso, à pressão constante \displaystyle \bigl(\partial G/\partial T\bigr)_{P}=-S. Logo
\left(\frac{\partial G}{\partial x}\right)_{P} = (-S)\,\bigl(-\tfrac{1}{x^{2}}\bigr) = \frac{S}{x^{2}}.

Passo 4

Voltando à derivada do produto:
\left(\frac{\partial(G\,x)}{\partial x}\right)_{P} = G + x\cdot\frac{S}{x^{2}} = G + \frac{S}{x}.
Como x=1/T, segue \displaystyle \frac{S}{x}=S\,T. Portanto
\left[\frac{\partial(G/T)}{\partial(1/T)}\right]_{P} = G + S\,T = H.

Resposta

\left[\frac{\partial(G/T)}{\partial(1/T)}\right]_{P} = H.

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