- Um mol de
é aquecido sob pressão constante, de
a
. Calcular a variação de entropia do sólido. Considerando que desde o início o sólido é aquecido num forno cuja temperatura é constante e igual a
e a pressão constante (processo irreversível), qual a quantidade de calor que a vizinhança deve fornecer ao sólido? Qual a variação de entalpia do sólido?
Para a vizinhança a troca de calor é reversível. Logo a variação de entropia na vizinhança é?
Qual a variação de entropia do universo? A transformação é espontânea?
Dados:
Para a vizinhança a troca de calor é reversível. Logo a variação de entropia na vizinhança é?
Qual a variação de entropia do universo? A transformação é espontânea?
Dados:
Passo 1
O enunciado pede várias coisas; vou listar com calma o que temos e o que precisa ser calculado (peguei todos os dados do enunciado):
-
Dados fornecidos:
- Um mol de
. - Temperaturas iniciais e finais em graus Celsius:
-
e .
-
- Capacidade calorífica molar dependente da temperatura (unidade:
): - O aquecimento é a pressão constante.
- Um mol de
-
Conversões de temperatura (necessárias para integrar):
-
O enunciado pede, na ordem:
- A variação de entropia do sólido
ao aquecer de a . - Se o sólido é aquecido desde o início num forno à temperatura constante
(processo irreversível), qual a quantidade de calor que a vizinhança deve fornecer ao sólido? - Qual a variação de entalpia do sólido
? - Considerando que para a vizinhança a troca de calor é reversível, qual a variação de entropia da vizinhança
? - Qual a variação de entropia do universo
e a transformação é espontânea?
- A variação de entropia do sólido
Observação: trabalho e variações de energia a pressão constante relacionam-se de forma que, em processo a pressão constante, o calor absorvido pelo sistema é igual à variação de entalpia do sistema (
). Vou usar isso mais adiante.
Passo 2
Cálculo teórico da variação de entropia do sólido: fórmula e preparação da integral.
-
A definição prática para a variação de entropia de uma substância ao variar a temperatura, quando a capacidade calorífica depende de
, é ondeé a capacidade molar a pressão constante e estamos tratando de 1 mol (portanto sem multiplicar por n). -
Substituindo a expressão dada para
: -
Separando a integral em termos mais simples:Logo
-
Integro termo a termo (mostrando a antiderivada):
Assim a expressão fechada é
Explicação rápida do que cada termo representa:
-
vem do termo constante em ao dividir por . -
vem do termo proporcional a em : ao dividir por vira constante e integra para algo proporcional a . -
resulta do termo em no após divisão por , e integra para uma expressão em .
Passo 3
Cálculo numérico de
(detalhando cada contribuição). Lembrete: unidades intermediárias em
.
-
Valores usados:
, . -
Primeiro termo:(usei
.) -
Segundo termo:
-
Terceiro termo:Calculando aproximadamente:
A diferença vale aproximadamente
, multiplicando por
obtém-se aproximadamente
.
-
Somando as três contribuições:
-
Conversão para unidades do SI (
): ,
Pequeno resumo didático: a entropia do sólido aumenta porque ele absorve calor ao aquecer; o valor numérico vem da integral de
.
Passo 4
Calor fornecido pela vizinhança (processo irreversível em forno a
) e variação de entalpia do sólido.
-
Em processo à pressão constante, o calor absorvido pelo sistema é igual à variação de entalpia do sistema:
-
Integro
termo a termo: dá a antiderivada -
Agora o cálculo numérico (em
): - Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Somando: - Primeiro termo:
-
Convertendo para joules e kJ:
-
Interpretação física: se o sólido está num forno que se mantém a
, para aquecer do estado inicial até equilibrar com o forno a a vizinhança precisa fornecer ao sólido (o sinal positivo indica calor entregue ao sólido). Em termos de fluxo de energia da vizinhança, a vizinhança perde essa quantidade (logo é calor retirado da vizinhança).
Passo 5
Variação de entropia da vizinhança (
) e raciocínio (troca reversível para a vizinhança).
-
A vizinhança (o forno) permanece a temperatura constante
. Se considerarmos a transferência de calor da vizinhança como reversível (reservatório térmico ideal), a variação de entropia da vizinhança ao perder o calor é -
Aqui
(calor absorvido pelo sistema) então: -
Numérico (usando
e ): Convertendo para J/K:
Comentário: o sinal negativo mostra que a vizinhança perde entropia ao ceder calor; apesar disso, o sistema pode ganhar mais entropia do que a vizinhança perde, atuando na entropia total.
Passo 6
Variação de entropia do universo e espontaneidade.
-
A variação de entropia do universo é a soma das variações do sistema e da vizinhança:
-
Numericamente:Em joules por kelvin:
-
Interpretação de espontaneidade: como
, a transformação (aquecimento espontâneo do sólido ao entrar em contato com o forno a ) é espontânea no sentido termodinâmico — o processo ocorre naturalmente na direção da transferência de calor do corpo mais quente (forno) para o mais frio (sólido) até o equilíbrio térmico.
Pequeno reforço: mesmo que o processo do ponto de vista do sistema seja irreversível (por exemplo, aquecimento rápido pelo forno), a análise de entropias soma o ganho do sistema e a perda da vizinhança; o sinal positivo do total confirma espontaneidade.
Resposta
Transformação espontânea? Sim (porque