Um mol de vapor é inserido em um sistema de pistão-cilindro sob as seguintes condições iniciais: 600 K e 5 MPa . Esse gás passa pelas seguintes etapas reversíveis:
Etapa 1: O gás é expandido isotermicamente até 0,2 \mathrm{MPa}, absorvendo uma quantidade de calor \mathrm{Q}_{\mathrm{H} 1};
Etapa 2: O gás é resfriado a volume constante até 300 K ;
Etapa 3: O gás é comprimido isotermicamente até o volume inicial;
Etapa 4: O gás é aquecido até o estado inicial a volume constante, exigindo a transferência de calor \mathrm{Q}_{\mathrm{H} 2}.
Calcule \triangle \mathrm{U}, \mathrm{Q}, WEC para cada passo e para o ciclo.
Também calcule a eficiência térmica, que é a razão do trabalho total obtido pelo calor fornecido.

Passo 1

O enunciado descreve um mol de gás ideal cíclico num pistão‐cilindro que parte do estado (P_{1}=5\,\mathrm{MPa},T_{1}=600\,\mathrm{K}), passa pelos processos:
1\to 2 expansão isotérmica até P_{2}=0{,}2\,\mathrm{MPa} a T=600\,\mathrm{K}.
2\to 3 resfriamento a volume constante até T_{3}=300\,\mathrm{K}.
3\to 4 compressão isotérmica até o volume inicial (logo P_{4}=P_{1}) a T=300\,\mathrm{K}.
4\to 1 aquecimento a volume constante de 300\,\mathrm{K} a 600\,\mathrm{K}.
Vamos usar o modelo de gás ideal com R=8{,}314\;\mathrm{J/(mol\cdot K)} e capacidades caloríficas constantes C_{v}.

Passo 2

Processo 1\to 2 (isotérmico a T_{1}=600\,\mathrm{K}):
– Variação de energia interna
\Delta U_{1\to2}=0
– Trabalho realizado pelo gás
W_{1\to2} = n\,R\,T_{1}\,\ln\frac{V_{2}}{V_{1}} = n\,R\,T_{1}\,\ln\frac{P_{1}}{P_{2}} =1\cdot8{,}314\cdot600\;\ln\!\bigl(25\bigr) \approx1{,}6065\times10^{4}\;\mathrm{J}
– Calor absorvido
Q_{1\to2}=W_{1\to2}\approx1{,}6065\times10^{4}\;\mathrm{J}

Passo 3

Processo 2\to 3 (resfriamento a V= constante):
– Trabalho
W_{2\to3}=0
– Variação de energia interna
\Delta U_{2\to3} = n\,C_{v}\,(T_{3}-T_{2}) =1\cdot C_{v}\,(300-600) =-300\,C_{v}
– Calor rejeitado (negativo)
Q_{2\to3}=\Delta U_{2\to3}=-300\,C_{v}

Passo 4

Processo 3\to 4 (isotérmico a T_{3}=300\,\mathrm{K} comprimindo até V_{1}):
\Delta U_{3\to4}=0
– Trabalho pelo gás (negativo, pois é compressão)
W_{3\to4} = n\,R\,T_{3}\,\ln\frac{V_{4}}{V_{3}} = R\,\cdot300\,\ln\!\bigl(\tfrac{1}{25}\bigr) \approx -8{,}028\times10^{3}\;\mathrm{J}
– Calor rejeitado
Q_{3\to4}=W_{3\to4}\approx -8{,}028\times10^{3}\;\mathrm{J}

Passo 5

Processo 4\to 1 (aquecimento a V constante de 300 K a 600 K):
– Trabalho
W_{4\to1}=0
– Variação de energia interna
\Delta U_{4\to1} = n\,C_{v}\,(600-300) =300\,C_{v}
– Calor fornecido
Q_{4\to1}=300\,C_{v}

Passo 6

Ciclo completo:
– Variação total de energia interna
\sum\Delta U=0+(-300\,C_{v})+0+(300\,C_{v})=0
– Trabalho líquido
W_{\rm ciclo} = W_{1\to2}+W_{2\to3}+W_{3\to4}+W_{4\to1} \approx1{,}6065\times10^{4}+0-8{,}028\times10^{3}+0 =8{,}037\times10^{3}\;\mathrm{J}
– Calor total
Q_{\rm ciclo}=\sum Q =Q_{1\to2}+Q_{2\to3}+Q_{3\to4}+Q_{4\to1} =W_{\rm ciclo}\approx8{,}037\times10^{3}\;\mathrm{J}
– Calor fornecido ao ciclo
Q_{\rm in}=Q_{1\to2}+Q_{4\to1} =1{,}6065\times10^{4}+300\,C_{v}
– Eficiência térmica
\eta =\frac{W_{\rm ciclo}}{Q_{\rm in}} =\frac{8{,}037\times10^{3}}{1{,}6065\times10^{4}+300\,C_{v}}
Se, por exemplo, C_{v}=\tfrac{5}{2}R\approx20{,}785\;\mathrm{J/K}, então
Q_{4\to1}=300\cdot20{,}785\approx6{,}236\times10^{3}\;\mathrm{J},\quad Q_{\rm in}\approx2{,}2301\times10^{4}\;\mathrm{J},\quad \eta\approx0{,}3606\;(36{,}1\%)

Resposta

Passo 1: \Delta U=0,\;W\approx1{,}6065\times10^{4}\,\mathrm{J},\;Q\approx1{,}6065\times10^{4}\,\mathrm{J}.
Passo 2: \Delta U=-300\,C_{v},\;W=0,\;Q=-300\,C_{v}.
Passo 3: \Delta U=0,\;W\approx-8{,}028\times10^{3}\,\mathrm{J},\;Q\approx-8{,}028\times10^{3}\,\mathrm{J}.
Passo 4: \Delta U=300\,C_{v},\;W=0,\;Q=300\,C_{v}.
Ciclo: \sum\Delta U=0,\;W_{\rm ciclo}\approx8{,}037\times10^{3}\,\mathrm{J},\;Q_{\rm ciclo}\approx8{,}037\times10^{3}\,\mathrm{J}.
Eficiência:
\eta =\frac{8{,}037\times10^{3}}{1{,}6065\times10^{4}+300\,C_{v}} \approx36{,}1\%\quad(\text{para }C_{v}=5/2\,R).

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