Uma mola vertical na qual está suspenso um bloco de massa m1 oscila com a frequência f. Com um bloco adicional de massa m2 neq m1 adicionado à mola, a frequência é f2. Qual é a proporção m1 / m2 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema massa-mola vertical que está oscilando. Temos uma mola com um bloco de massa $ m_1 $ que oscila com frequência $ f $. Quando adicionamos outro bloco de massa $ m_2 $, a frequência muda para $ f_2 $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a proporção $ \frac{m_1}{m_2} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da frequência de um sistema massa-mola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula que relaciona a frequência de um sistema massa-mola. A frequência $ f $ de um sistema massa-mola é dada por:
f
Onde:
  • $ f $ é a frequência das oscilações,
  • $ k $ é a constante da mola (que indica o quão “dura” a mola é),
  • $ m $ é a massa do bloco preso à mola.
Essa fórmula nos diz que a frequência depende da rigidez da mola e da massa do bloco.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. Primeiro, com apenas o bloco de massa $ m_1 $, a frequência é $ f $:
m1
Depois, quando adicionamos o bloco de massa $ m_2 $, a massa total na mola passa a ser $ m_1 + m_2 $, e a nova frequência é $ f_2 $:
f

Passo 4

Para facilitar a comparação entre as duas situações, vamos dividir a segunda equação pela primeira:
f2f = 12pi raizkm1 + m212pi raizkm1 = raizkm1 + m2raizkm1
Simplificando os termos:
f2f = raizm1m1 + m2

Passo 5

Agora, vamos isolar a razão $ \frac{m_1}{m_1 + m_2} $:
m1m1 + m2
Multiplicando ambos os lados por $ m_1 + m_2 $:
( f2f )^2 = m1m1 + m2
Distribuindo o termo:
m1 + m2
Isolando os termos com $ m_2 $:
( f2f )^2 (m1 + m2) = m1
Fatorando $ m_1 $:
( f2f )^2 m1 + ( f2f )^2 m2 = m1
Agora, isolando a razão $ \frac{m_1}{m_2} $:
m2

Resposta

A proporção $ \frac{m_1}{m_2} $ é dada por:
m1m2

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