Uma mola vertical na qual está suspenso um bloco de massa
oscila com a frequência
. Com um bloco adicional de massa
adicionado à mola, a frequência é
. Qual é a proporção
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema massa-mola vertical que está oscilando. Temos uma mola com um bloco de massa $ m_1 $ que oscila com frequência $ f $. Quando adicionamos outro bloco de massa $ m_2 $, a frequência muda para $ f_2 $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a proporção $ \frac{m_1}{m_2} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da frequência de um sistema massa-mola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula que relaciona a frequência de um sistema massa-mola. A frequência $ f $ de um sistema massa-mola é dada por:
Onde:
- $ f $ é a frequência das oscilações,
- $ k $ é a constante da mola (que indica o quão “dura” a mola é),
- $ m $ é a massa do bloco preso à mola.
Essa fórmula nos diz que a frequência depende da rigidez da mola e da massa do bloco.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. Primeiro, com apenas o bloco de massa $ m_1 $, a frequência é $ f $:
Depois, quando adicionamos o bloco de massa $ m_2 $, a massa total na mola passa a ser $ m_1 + m_2 $, e a nova frequência é $ f_2 $:
Passo 4
Para facilitar a comparação entre as duas situações, vamos dividir a segunda equação pela primeira:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos isolar a razão $ \frac{m_1}{m_1 + m_2} $:
Multiplicando ambos os lados por $ m_1 + m_2 $:
Distribuindo o termo:
Isolando os termos com $ m_2 $:
Fatorando $ m_1 $:
Agora, isolando a razão $ \frac{m_1}{m_2} $:
Resposta
A proporção $ \frac{m_1}{m_2} $ é dada por: