Na molécula de iodeto de potássio (K I), suponha que os átomos K e I se ligam ionicamente pela transferência de um elétron de K a I. (b) Uma função energia potencial para a molécula K I é o potencial de Lennard-Jones:
U(r)=4 epsilon[(sigmar)^12-(sigmar)^6]+Ea
onde r é a distância de separação internuclear e epsilon e sigma são parâmetros ajustáveis. O termo Ea é acrescentado para assegurar o comportamento assintótico correto para r grande. Na distância de separação de equilíbrio, r=r0=0,305 nm, U(r) é mínimo e d U / d r=0. Além disso, U(r0) é o negativo da energia de dissociação: U(r0)=-3,37 eV. Encontre sigma e epsilon.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma molécula de iodeto de potássio ( KI) que se liga de forma ionicamente, ou seja, o potássio ( K) perde um elétron para o iodo ( I). A gente vai trabalhar com a função de energia potencial conhecida como potencial de Lennard-Jones, que nos ajuda a entender como as partículas interagem à distância r. Precisamos encontrar os valores de sigma e epsilon, que são parâmetros dessa função. Para isso, vamos usar as informações que nos deram: a distância de equilíbrio r0 = 0,305, nm e a energia de dissociação U(r0) = -3,37, eV.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do potencial de Lennard-Jones que foi dada:
U(r) = 4 epsilon [ ( sigmar )^12 - ( sigmar )^6 ] + Ea
Aqui, r é a distância entre os núcleos das partículas, epsilon é a profundidade do poço de energia (ou seja, a energia mínima do potencial), e sigma é a distância na qual o potencial de interação é zero. O termo Ea é ajustado para garantir que, quando r fica muito grande, o potencial se comporta corretamente.

Passo 3

Sabemos que na distância de equilíbrio r0, a energia potencial U(r) é mínima. Isso significa que a derivada da energia potencial em relação a r nesse ponto é zero:
dUdr |r=r0 = 0
Vamos calcular essa derivada:
dUdr = 4 epsilon [ -12 ( sigmar )^12 1r + 6 ( sigmar )^6 1r ]
Simplificando:
dUdr = 4 epsilonr [ -12 ( sigmar )^12 + 6 ( sigmar )^6 ]
Igualando a zero:
-12 ( sigmar0 )^12 + 6 ( sigmar0 )^6 = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação para sigma. Primeiro, podemos dividir ambos os lados por 6 ( sigmar0 )^6:
-2 ( sigmar0 )^6 + 1 = 0
Então:
( sigmar0 )^6 = 12
Tirando a raiz sexta de ambos os lados:
sigmar0 = ( 12 )^1/6
Calculando ( 12 )^1/6:
( 12 )^1/6 approx 0,8909
Portanto:
sigma approx 0,8909 times r0
Substituindo r0 = 0,305, nm:
sigma approx 0,8909 times 0,305, nm approx 0,272, nm

Passo 5

Agora que encontramos sigma, vamos encontrar epsilon. Sabemos que na distância de equilíbrio r0, a energia potencial é U(r0) = -3,37, eV. Vamos usar a fórmula do potencial de Lennard-Jones:
U(r0) = 4 epsilon [ ( sigmar0 )^12 - ( sigmar0 )^6 ] + Ea
Como U(r0) é a energia mínima, Ea deve ser zero nesse ponto para garantir que o potencial tenha o comportamento correto. Então:
-3,37, eV = 4 epsilon [ ( sigmar0 )^12 - ( sigmar0 )^6 ]
Sabemos que ( sigmar0 )^6 = 12 (da etapa anterior), então:
( sigmar0 )^12 = ( 12 )^2 = 14
Substituindo:
-3,37, eV = 4 epsilon ( 14 - 12 ) = 4 epsilon ( -14 ) = -epsilon
Portanto:
epsilon = 3,37, eV

Resposta

Os valores dos parâmetros são sigma approx 0,272, nm e epsilon = 3,37, eV.

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