Moléculas de butadieno podem acoplar para formar \mathrm{C}_{8} \mathrm{H}_{12}. A expressão da velocidade para esta reação é: V=k\left[\mathrm{C}_{4} \mathrm{H}_{6}\right]^{2}, e a constante de velocidade estimada é 0,014 \mathrm{~L} / \mathrm{mol} . \mathrm{s}. Se a concentração inicial de butadieno é de 0,016 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}, determine o tempo necessário para que a concentração decaia para 0,0016 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Pede: determinar o tempo necessário para que a concentração de butadieno caia de \,0,016\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L} para \,0,0016\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
  • Dados fornecidos:
    • Lei de velocidade: V=k\left[\mathrm{C}_{4}\mathrm{H}_{6}\right]^{2}.
    • Constante de velocidade: k=0,014\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}.
    • Concentração inicial: \left[\mathrm{C}_{4}\mathrm{H}_{6}\right]_0=0,016\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
    • Concentração final desejada: \left[\mathrm{C}_{4}\mathrm{H}_{6}\right]=0,0016\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.

Passo 2

Entender a equação diferencial que descreve a cinética:
  • A velocidade da reação dada é a taxa de consumo do reagente. Escrevemos isso como
-\frac{d\left[\mathrm{A}\right]}{dt}=k\left[\mathrm{A}\right]^2,
onde \left[\mathrm{A}\right] significa \left[\mathrm{C}_{4}\mathrm{H}_{6}\right]. O sinal negativo aparece porque a concentração do reagente diminui com o tempo.
  • Rearranjando para separar variáveis, obtemos
\frac{d\left[\mathrm{A}\right]}{\left[\mathrm{A}\right]^2}=-k\,dt.
Isto prepara a equação para integrar ambos os lados entre os limites apropriados.

Passo 3

Integrar a equação por separação de variáveis (passo a passo da integral):
  • Integramos o lado esquerdo de \left[\mathrm{A}\right]_0 até \left[\mathrm{A}\right] e o lado direito de 0 até t:
\int_{\left[\mathrm{A}\right]_0}^{\left[\mathrm{A}\right]}\frac{d\left[\mathrm{A}\right]}{\left[\mathrm{A}\right]^2}=\int_{0}^{t}-k\,dt.
  • Calcular a integral do lado esquerdo. Lembrando que \displaystyle \int x^{-2}dx=-x^{-1}+C, temos
\left[-\frac{1}{\left[\mathrm{A}\right]}\right]_{\left[\mathrm{A}\right]_0}^{\left[\mathrm{A}\right]} = -k\,[t]_0^t.
  • Avaliando os limites:
-\frac{1}{\left[\mathrm{A}\right]}+\frac{1}{\left[\mathrm{A}\right]_0} = -k t.
  • Multiplicando por -1 e reordenando obtemos a forma integrada conhecida para reações de segunda ordem (com um único reagente):
\frac{1}{\left[\mathrm{A}\right]}-\frac{1}{\left[\mathrm{A}\right]_0}=k\,t.

Passo 4

Isolar t e preparar para substituir números:
  • Da expressão integrada,
t=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{\left[\mathrm{A}\right]}-\frac{1}{\left[\mathrm{A}\right]_0}\right).
  • Aqui:
    • \left[\mathrm{A}\right]_0 é a concentração inicial \,0,016\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
    • \left[\mathrm{A}\right] é a concentração final \,0,0016\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
    • k é 0,014\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}.
  • Importante checar unidades: \frac{1}{\mathrm{mol}/\mathrm{L}}=\mathrm{L}/\mathrm{mol}. Assim \left(\frac{1}{\left[\mathrm{A}\right]}-\frac{1}{\left[\mathrm{A}\right]_0}\right) tem unidades \mathrm{L}/\mathrm{mol}, e dividindo por k em \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1} resulta em segundos, como esperado.

Passo 5

Substituir os números e calcular cuidadosamente (mostrar cada conta):
  • Calcular os recíprocos:
\frac{1}{\left[\mathrm{A}\right]}=\frac{1}{0,0016}=625\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1},
\frac{1}{\left[\mathrm{A}\right]_0}=\frac{1}{0,016}=62{,}5\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Diferença:
\frac{1}{\left[\mathrm{A}\right]}-\frac{1}{\left[\mathrm{A}\right]_0}=625-62{,}5=562{,}5\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Agora dividir por k:
t=\frac{562{,}5}{0,014}\\ \mathrm{s}=40\,178{,}5714\ldots\\ \mathrm{s}.
  • Arredondando de forma conveniente e convertendo para unidades mais familiares:
t\approx4,02\times10^{4}\\ \mathrm{s}.
t\approx\frac{40\,178{,}57}{3600}\\ \mathrm{h}\approx11{,}16\\ \mathrm{h},
o que equivale a aproximadamente 11\\ \mathrm{h}\\\ 9\\ \mathrm{min}\\\ 36\\ \mathrm{s}.

Resposta

t\approx4,02\times10^{4}\\ \mathrm{s}\approx11{,}16\\ \mathrm{h}

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