1. Momento de inércia de um cone sólido Encontre o momento de inércia de um cone circular reto com raio de base 1 e altura 1 em relação ao eixo passando pelo vértice paralelo à base. (Tome \delta=1.)

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de um cone circular reto de raio de base R=1 e altura H=1 em relação ao eixo que passa pelo vértice e é paralelo à base. O cone tem densidade uniforme \delta=1. Para resolver, vamos usar fatias cilíndricas (discos) perpendiculares ao eixo, calcular a massa total e depois integrar o momento de inércia de cada disco.

Passo 2

Primeiro calculamos a massa total M do cone. Uma fatia a uma distância z do vértice tem raio r(z)=\frac{R}{H}z=z e espessura \mathrm{d}z. O volume dessa fatia é
\mathrm{d}V = \pi\,r(z)^2\,\mathrm{d}z = \pi\,z^2\,\mathrm{d}z.
Como \delta=1, a massa dessa fatia é \mathrm{d}m=\mathrm{d}V. Logo,
M = \int_{0}^{H}\mathrm{d}m = \int_{0}^{1}\pi\,z^2\,\mathrm{d}z = \pi\left[\frac{z^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{3}.

Passo 3

Agora calculamos o momento de inércia I usando cada fatia como um disco fino de massa \mathrm{d}m e raio z. O momento de inércia de um disco fino de massa \mathrm{d}m e raio r em relação ao seu eixo é \tfrac{1}{2}r^2\,\mathrm{d}m. Aqui r=z e \mathrm{d}m=\pi z^2\,\mathrm{d}z, então
\mathrm{d}I = \frac{1}{2}z^2\cdot\pi\,z^2\,\mathrm{d}z = \frac{\pi}{2}\,z^4\,\mathrm{d}z.

Passo 4

Integramos \mathrm{d}I de z=0 até z=1:
I = \int_{0}^{1}\frac{\pi}{2}\,z^4\,\mathrm{d}z = \frac{\pi}{2}\left[\frac{z^5}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{5} = \frac{\pi}{10}.

Resposta

O momento de inércia do cone é \displaystyle \frac{\pi}{10}.

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