Uma montadora trabalha com dois fornecedores A e B de uma determinada peça. Sabe-se que 10 % e 5 % das peças provenientes dos fornecedores A e B, respectivamente, estão fora das especificações. A montadora recebe 30 % das peças do fornecedor A e 70 % do fornecedor B. Se uma peça do estoque inteiro é escolhida ao acaso, calcule:
Se uma peça escolhida ao acaso está fora das especificações, qual é a probabilidade de que tenha sido escolhida do fornecedor A ?

Passo 1

Vamos resumir o problema: Uma montadora usa peças de dois fornecedores, A e B. Sabemos que 10% das peças do fornecedor A e 5% das peças do fornecedor B estão fora das especificações. A montadora recebe 30% das peças de A e 70% de B. Queremos descobrir: se pegarmos uma peça aleatoriamente e ela estiver fora das especificações, qual a probabilidade de ela ter sido escolhida do fornecedor A?
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar a probabilidade de um evento dado outro evento já ocorrido.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades que temos:
  • Probabilidade de escolher uma peça de A ( P(A)): 30% ou 0,3.
  • Probabilidade de escolher uma peça de B ( P(B)): 70% ou 0,7.
  • Probabilidade de uma peça de A estar fora das especificações ( P(D|A)): 10% ou 0,1.
  • Probabilidade de uma peça de B estar fora das especificações ( P(D|B)): 5% ou 0,05.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de que a peça seja de A dado que ela está fora das especificações ( P(A|D)).
Segundo o Teorema de Bayes:
P(A|D) = P(D|A) cdot P(A)P(D)
Aqui, P(D) é a probabilidade total de uma peça estar fora das especificações, independentemente do fornecedor.

Passo 4

Vamos calcular P(D), a probabilidade total de uma peça estar fora das especificações. Ela pode ocorrer de duas maneiras: ou a peça é de A e está defeituosa, ou é de B e está defeituosa. Então:
P(D) = P(D|A) cdot P(A) + P(D|B) cdot P(B)
Substituindo os valores:
P(D) = (0,1 cdot 0,3) + (0,05 cdot 0,7) = 0,03 + 0,035 = 0,065

Passo 5

Agora, aplicamos os valores no Teorema de Bayes:
P(A|D) = 0,1 cdot 0,30,065 = 0,030,065 approx 0,4615

Resposta

A probabilidade de que a peça tenha sido escolhida do fornecedor A, dado que está fora das especificações, é aproximadamente 46,15%.

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