Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por 9 .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa mostrar que, para qualquer número natural
, a expressão
é divisível por 9. Isso envolve conceitos de divisibilidade e propriedades das potências. Para resolver, vamos usar indução matemática, que é uma técnica que nos ajuda a provar afirmações para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, ou seja, para
.
Calculando:
Como 18 dividido por 9 dá exatamente 2, sem resto, a expressão é divisível por 9 nesse caso. Então, a base da nossa indução está confirmada.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número arbitrário
. Ou seja, vamos supor que:
Isso significa que existe um número inteiro
tal que:
Passo 4
Nosso próximo passo é provar que a afirmação também vale para
. Vamos calcular
e mostrar que esse resultado também é divisível por 9.
Vamos desenvolver a expressão:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos utilizar a hipótese de indução
:
Substituímos
da hipótese:
Então:
Podemos fatorar 9:
Isso mostra que
também é múltiplo de 9.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para qualquer
,
é divisível por 9.