Mostrar que, para qualquer n in N : 4^n+15 n-1 é divisível por 9 .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa mostrar que, para qualquer número natural , a expressão é divisível por 9. Isso envolve conceitos de divisibilidade e propriedades das potências. Para resolver, vamos usar indução matemática, que é uma técnica que nos ajuda a provar afirmações para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, ou seja, para 4^1 + 15 times 1 - 1 = 4 + 15 - 1 = 18 .
Calculando:
Como 18 dividido por 9 dá exatamente 2, sem resto, a expressão é divisível por 9 nesse caso. Então, a base da nossa indução está confirmada.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número arbitrário 4^k + 15k - 1 é divisível por 9 . Ou seja, vamos supor que:
4^k + 15k - 1 = 9m éí
Isso significa que existe um número inteiro tal que:

Passo 4

Nosso próximo passo é provar que a afirmação também vale para 4^k+1 + 15(k+1) - 1 = 4 times 4^k + 15k + 15 - 1 . Vamos calcular 4^k+1 + 15(k+1) - 1 = 4 times 4^k + 15k + 14 e mostrar que esse resultado também é divisível por 9.
Vamos desenvolver a expressão:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos utilizar a hipótese de indução 4^k+1 + 15(k+1) - 1 = 4 times 4^k + 15k + 14 :
4^k = 9m - 15k + 1
Substituímos 4 times (9m - 15k + 1) + 15k + 14 = 36m - 60k + 4 + 15k + 14 = 36m - 45k + 18 da hipótese:
36m - 45k + 18 = 9(4m - 5k + 2)
Então:
Podemos fatorar 9:
Isso mostra que também é múltiplo de 9.

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para qualquer , é divisível por 9.

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